几何观测量¶
只要构型可以表示为节点和连接关系，就可以定义一组几何观测量。它们常出现在 cluster、loop、percolation、random graph 和几何表象的 Monte Carlo 分析中。
Cluster 大小¶
设一个构型中所有 cluster 的大小为
\[
C_1\ge C_2\ge C_3\ge\cdots.
\]
常用观测量包括：
- \(C_1\)：最大 cluster 大小。
- \(C_2\)：次大 cluster 大小。
- \(N_c\)：cluster 数目。
- \(N_b\)：激活 bond 数目。
在渗流和临界现象中，\(C_1/L^d\) 可作为序参量的几何版本，\(C_2\) 常用于观察临界附近的大涨落。
Wrapping 与 Winding¶
如果系统有周期边界，可以进一步定义拓扑观测量：
- wrapping probability \(R\)：是否存在跨越周期边界的 cluster。
- winding number \(\vec W\)：loop 或世界线绕周期边界的次数。
这些量通常是无量纲的，因此适合做有限尺寸标度分析。不同尺寸的 wrapping probability 或 winding ratio 曲线常在临界点附近交叉。
回转半径¶
对一个 cluster，回转半径描述它的空间延展：
\[
R_g^2
=
\frac{1}{C}\sum_{i\in C}
|\vec r_i-\vec r_{\rm cm}|^2.
\]
其中 \(\vec r_{\rm cm}\) 是 cluster 的质心。最大 cluster 和次大 cluster 的回转半径可以记为 \(T_1,T_2\)，用于区分紧致团簇和延展团簇。
分布量¶
除了均值，也常测量分布：
\[
n(s,L)
\]
表示大小为 \(s\) 的 cluster 数密度；
\[
T(s,L)
\]
表示给定大小 cluster 的典型空间延展。
分布量比单个平均值包含更多信息，但也需要更多样本。分析时要注意 binning、归一化和尾部分布误差。
与物理量的关系¶
几何观测量通常不是额外装饰，而是物理量的另一种表达。例如在 FK 表象中，磁化率可以与 cluster 大小矩联系起来；在世界线 QMC 中，绕数与超流刚度有关。
因此设计几何观测量时，应先问清楚：它对应哪个物理响应，是否具有明确的标度维度，以及误差是否可控。