VMC 训练¶
VMC 每轮训练围绕四个动作展开：
这套流程把巨大 Hilbert space 上的求和，换成从当前波函数分布中抽样后的统计估计。
采样分布¶
模型给出波函数：
\[
\psi_\theta(x)
= \exp(\log A_\theta(x))\exp(i\phi_\theta(x)).
\]
采样分布取模方：
\[
p_\theta(x)
= {|\psi_\theta(x)|^2 \over \sum_{x'}|\psi_\theta(x')|^2}.
\]
教学版使用自回归 amplitude，因此可以逐 token 采样。采样器返回：
对应权重：
\[
w(x) = {\mathrm{count}(x) \over \sum_{x'}\mathrm{count}(x')}.
\]
Local Energy¶
能量期望可以写成：
\[
E_\theta
= \sum_x p_\theta(x)E_{\rm loc}(x),
\]
其中局域能为：
\[
E_{\rm loc}(x)
= \sum_{x'}H_{xx'}{\psi_\theta(x')\over \psi_\theta(x)}.
\]
这个公式把 Hamiltonian 的作用限制在采样到的 \(x\) 附近。ExactHamiltonian 逐个 Pauli term 找 connected state；CppHamiltonian 调用旧 C++ 后端计算同一件事。
能量估计¶
一轮采样下，平均能量估计为：
\[
E_{\rm mean}
= \sum_x w(x) E_{\rm loc}(x).
\]
日志里的 energy_real 是 \(E_{\rm mean}\) 的实部。理想情况下，物理 Hamiltonian 的能量应当是实数；energy_imag 可以作为数值误差或实现错误的信号。
VMC 梯度¶
变分目标是：
\[
E(\theta)
= {\langle\psi_\theta|H|\psi_\theta\rangle
\over
\langle\psi_\theta|\psi_\theta\rangle}.
\]
VMC 常用的 log-derivative 梯度可写成：
\[
\nabla_\theta E
= 2\,\mathrm{Re}\left[
\left\langle
(E_{\rm loc}(x)-E_{\rm mean})
\nabla_\theta \log \psi_\theta(x)^*
\right\rangle_{p_\theta}
\right].
\]
教学版用一个实数 proxy loss 让 PyTorch 产生这条梯度：
\[
L_{\rm proxy}
= 2\,\mathrm{Re}\left[
\sum_x w(x)\,
\overline{\log\psi_\theta(x)}\,
(E_{\rm loc}(x)-E_{\rm mean})
\right].
\]
loss_proxy 的数值不作为训练目标解释，它的作用是把正确方向写入模型参数的 .grad。
从公式到代码变量¶
trainer.py 中常见变量和公式的对应关系如下：
| 代码变量 | 数学对象 |
|---|---|
states_cpu |
\(x\) |
counts_cpu |
\(\mathrm{count}(x)\) |
weights_np |
\(w(x)\) |
local_energies |
\(E_{\rm loc}(x)\) |
energy_mean |
\(E_{\rm mean}\) |
eloc_corr |
\(E_{\rm loc}(x)-E_{\rm mean}\) |
outputs["log_amp"] |
\(\log A_\theta(x)\) |
outputs["phase"] |
\(\phi_\theta(x)\) |
令：
\[
\log\psi_\theta(x)=\log A_\theta(x)+i\phi_\theta(x),
\qquad
E_{\rm loc}(x)-E_{\rm mean}=a(x)+ib(x).
\]
则：
\[
\mathrm{Re}\left[
\overline{\log\psi_\theta(x)}(a+ib)
\right]
= \log A_\theta(x)a(x)+\phi_\theta(x)b(x).
\]
代码可以完全用实数张量写：
loss_proxy = 2.0 * torch.sum(
weights * (outputs["log_amp"] * corr_real + outputs["phase"] * corr_imag)
)
跑通标准¶
第一次 smoke test 重点看工程链路：
n_samples等于配置里的采样数。n_unique大于 0。energy_real、energy_imag、loss_proxy都是有限数。train_log.csv正常生成。- checkpoint 文件正常生成。
研究收敛时，再增大 n_samples、n_epochs，并换成真实的 qubit_op.data。