机械波与电磁波在多普勒效应模式上的差异¶
原发布于 B 站专栏：机械波与电磁波在多普勒效应模式上的差异 发布日期：2018-10-12
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看到标题，或许读者会感到学术味浓厚。的确，要想说清楚细节必须要使用一定的数学推导，但鉴于b站是以娱乐为主的网站，这里就重在描述两种波模式上的不同。
当我们走在马路边上，看着那些来来往往的车辆，是否会想到这里面蕴含着有趣的物理问题呢？嗯，没错，我们会想到多普勒效应，汽车静止和远离观察者或靠近观察者行驶，听到的鸣笛声的频率是不同的。这一点多普勒在1842年就已经用数学做了定量表达，而且在我们的日常生活中也能清楚地观察到。然而，当到了晚上车灯开启，车灯发出的电磁波是否也和鸣笛时发出的机械波有同样的运动模式呢？这一点，不容小觑，其背后可是蕴含着两种时空观的不同。
首先要区分机械波和电磁波这两种波产生和传播的不同。
机械波的本质是振动，物质的振动是机械波的前提，然而这种振动必须在周围有介质的情况下才能传播，波源的物质带动周围介质的物质继续振动，这个过程不断持续下去形成了机械波。由于这种特性，描述机械波的数学必须将空间和时间统一起来，例如最简单的简谐振动的波动方程f(x,t)就是这样构造出来的。但是要注意，真实世界的波有三个维度，根据空间对称性，其物理图像呈球状由波源向周围介质发散。
对于电磁波呢，其本质是电场与磁场在一定参考系的互相激发。这一点由麦克斯韦用他的方程组预见到了，而且20世纪初的迈克尔逊-莫雷实验已经验证电磁波的传播不需要介质，仅需要最基本的空间。最重要的是，在真空中不论选择何种参考系，电磁波的波速恒定不变为c。这些奇怪的性质，导致了电磁波固然与机械波传播模式的不同。当然，通过推导麦克斯韦方程组也可得到电磁波的波动方程。下面我们正式开始讨论。
有了所谓的波动方程，别以为就掌握了波的一切性质。运动是相对的，只讨论波源静止的最简单情况是不够的，我们还得搞清楚波源与观察者相对运动产生的影响。这就是多普勒当年做的工作，其主要思想是这样的：考虑三个研究对象，观察者、波源、介质。然后讨论两种简单的情形：（第一种情况）观察者相对于介质运动且波源相对于介质静止，以及（第二种情况）观察者相对于介质静止且波源相对于介质运动。
有人可能要问，既然运动是相对的，为何要区分这两种情形呢？好问题！请注意关键字“相对于介质”，前面说了对于机械波，介质是不可或缺的，机械波所产生的传播模式也与介质的运动状态息息相关。下面就具体分析（由于机械波的波速远小于光速，故不讨论相对论修正）。对于第一种情况，比较好想象，这时波源和介质没有相对运动，故发出的波长在非相对论情况下是不变的，观察者收到的频率只会被其速度所改变。现在我们以观察者为参考系，假设靠近波源，来描述一下看到波运动的模式。波源不断接近观察者，并不断以波源为球心向空间发送半径不断增大的球形波，而且这只球形波还不断向靠近观察者，这就使得等时间段发送的球形波其半径呈等差数列，且波长不变。注意这里的球形波是复合运动，不仅以球心的半径在均匀增大而且球心也在靠近观察者。对于第二种情况，由于观察者静止，我们直接就以观察者为参考系来描述。这时波源不断靠近，发出的一系列球形波以发出时刻波源的空间位置为球心不变，均匀增加半径。注意，这里由于介质相对于观察者没有运动，传出的波不会具有第一种情况的''惯性''，其球心位置始终不变。
这就使得波源与观察者的运动地位不等价，关键在于介质在传递波的时候并不会受波源运动影响。波速是由介质本身决定的，而波速又是相对于介质而言的，波源经过的那点的介质之前是静止的，而这个波速也是相对于静止的那一点来说的。这里是本文的关键，也是难点，希望读者认真理解，也可以来评论区提问。
而对于电磁波，由于相对论赋予它的特殊性质，讨论起来还是相对容易的。我们直接就以观察者来描述，并且在真空中进行观察。由于光速的不变性，在波源发出电磁波的时候，在观察者看来，以波发出时刻波源的位置为球心不断以c的速度增加半径。由于没有介质，不牵扯机械波那样受介质运动的影响。也可以这样等效：在所以参考系下，''介质''都与观察者静止。也就是说，对于电磁波，观察者和波源的地位是对等的。所以，我们就可以放心地用一个公式去计算红移和蓝移。
emmmm.....基本上都讲完了。同样是波，由于传播机理不同，其性质差异也很大，数学上的表达也不同。
硬是忍住不用公式写完了，好痛苦π_π
嘤嘤嘤(ಥ_ಥ)
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多普勒效应最熟悉的例子来自声音：一辆车向我们驶来时，鸣笛声听起来更尖；车远离时，声音又变低。这个现象并不只是“波源和观察者相对运动”这么一句话就能完全说清楚。对于机械波和电磁波，多普勒效应背后的运动图像并不相同，而差异的关键正是：机械波需要介质，电磁波在真空中不需要介质。
先看机械波。以声波为例，声波是空气等介质中压强和密度扰动的传播。波源振动会推动周围介质继续振动，于是扰动一层一层传出去。声速 \(v\) 不是相对于任意观察者定义的，而是相对于介质定义的。也就是说，在通常非相对论情形下，空气给出了一个特殊参考系。
这会带来一个很重要的后果：观察者运动和波源运动并不完全等价。若波源相对于介质静止，而观察者向波源运动，那么波在介质中的波长没有变，只是观察者迎着波面走来，单位时间内遇到的波峰变多，所以接收频率升高。若观察者静止，而波源向观察者运动，则波源每发出一个新波峰时位置都向前挪了一点，前方波峰之间的距离被压短，后方波峰之间的距离被拉长，此时改变的是介质中实际形成的波长。
因此，机械波的非相对论多普勒公式必须分别写出观察者和波源相对于介质的速度。沿同一直线运动时，可写成
其中 \(f\) 是波源本征频率，\(f'\) 是观察者接收到的频率，\(v\) 是介质中的波速，\(v_o\) 是观察者朝向波源运动的速度，\(v_s\) 是波源朝向观察者运动的速度。这里的符号约定只是为了表达靠近时频率升高；若远离，则相应速度取反。这个公式最值得注意的地方不是形式本身，而是它把“观察者相对介质运动”和“波源相对介质运动”分开放进了分子和分母。
用波面图像来说也很清楚。波源静止、观察者运动时，介质中的一系列球面波仍以固定波源为中心向外扩散，观察者只是穿过这些波面。波源运动、观察者静止时，每一个球面波的球心对应波源发出该波峰时所在的位置；这些球心排成一列，导致前方波面密集、后方波面稀疏。机械波的波面一旦在介质中生成，就按介质决定的速度传播，并不会继续“记住”波源后来的运动。
电磁波的情况不同。在真空中，光速 \(c\) 对所有惯性参考系都相同，这不是某种介质速度，而是时空结构本身的一部分。迈克尔逊-莫雷实验否定了经典以太图像，而狭义相对论把“光速不变”作为基本原则之一。于是讨论真空电磁波的多普勒效应时，没有一个类似空气的静止介质参考系可以拿来区分“到底是谁真的在动”。
因此，真空中的电磁波多普勒效应必须是相对论性的。若光源和观察者沿视线方向彼此远离，接收频率为
其中 \(u\) 是二者的相对速度。若二者彼此靠近，则
这两个式子体现的是相对论时空中的时间膨胀和波前传播共同作用的结果。和机械波公式相比，它只依赖光源与观察者之间的相对速度，而不是分别依赖二者相对于某个介质的速度。
所以，两类波的差异可以概括为一句话：机械波的多普勒效应发生在“波源、观察者、介质”三者关系之中；真空电磁波的多普勒效应发生在“光源、观察者”二者的相对论时空关系之中。前者的非对称性来自介质，后者的对称性来自光速不变。
这也是为什么汽车鸣笛和车灯变色虽然都可以叫“多普勒效应”，但它们并不是同一个运动模型的简单复制。声音告诉我们介质如何传递振动；光则告诉我们，时间和空间本身必须以相对论的方式组织起来。