某暑假的数理小记¶
原发布于 B 站专栏：某暑假的数理小记 发布日期：2019-03-17
这篇小记是我高考结束那年暑假写的，总结了我上大学之前对数学物理学习的一些看法。之前一直犹豫要不要发布。如今，感到其中还是有一些抛砖引玉的内容的。希望大家能够作为参考，如果有什么问题，欢迎留言o(￣▽￣)ブ
暑期数理学习感悟
炎热的天气渐渐淡去，暑假也即将过去，回顾我的填坑计划，作为初生牛犊的确是有许多感悟的。在此我将一一梳理。
高中时期有幸参加物理竞赛，窥见些大学的知识，认识了许多巨佬，不禁感叹天地之广阔，自身之渺小。然而我也没有一直做无意义的感叹，但是实在是因为当年资源有限，而且学校老师的水平不足而无法给予帮助，所以我只能追着大佬们的足迹闭关修行。在没有集中的学习时间和良好引导的条件下，我高考刚刚结束时的物理和数学水平与同年龄的物竞党完全不能比。因此我决定利用暑假时间填一填高中的坑，将那些见过但似是而非的东西彻底弄明白。
整体来说，我把大部分的高等数学，普物力学和电磁学，初窥的差不多了。现在觉得基本的大学数理理论框架已经搭好了。然而我发现在我学习的过程中有许多值得改进和总结的地方。
作为非数学专业的人，先拿数学来说。我的高中老师常常拿玩魔方来类比学习数学的过程，将学习分为两块：知识储备和熟练度。这就相当于玩魔方通过Group Theory推导公式和不断重复公式强化肌肉记忆的区别。学会高大上的理论推导公式是必须的，然而真正能用于实际生活中，甚至让他人连声叫好的“表演”却是另一种能力 。转魔方快的人可能并不知道公式的推导，但却能够利用推导的成果形成自身的条件反射，这一点是十分重要的。我十分赞成我们老师的观点，毕竟数学终究是研究一种模式，除了掌握数学里面的定义和推导，更重要是感受这种模式，让操作具有灵气，拒绝僵化的理解。举个例子，我们老师常常说，运用公式有三重境界：顺着用、逆着用、凑着用。不要小看，许多人就是想不到逆着用，更别提凑了。
谈到大学数学和高中数学的区别，我觉得首先是抽象的程度更深了。高中的数学知识实际上不多，要说多的话，都是些为了应试而拓展的公式和结论，没有多大意思。而考试主要考的是技巧性，也就是那些简单知识的化归、构造变形、联立等等。而大学的数学注重的是概念理解和普适性，这也就是它能处理更多问题的原因。而这份强大的代价就是过分抽象，如果没有物理问题与之对应，理解起来相当难。但转念一想，数学是严谨的，那么概念和定义就显得极为关键。我在学习的过程中常常遇到没搞清楚概念而浪费时间。所以预习新课时，即使没有一页页看完，也一定要弄清楚概念的定义、专有名词、数学表述、条件范围等等。再来就是数学的有趣之处了——性质。我们常常会先定义一系列莫名其妙的概念，之后就会讨论在此基础上的性质，以及性质的性质和推广。使数学获得生机。例如一元函数的可微和可导等价、积分的大小关系、微分中值定理等等。有了这些性质使得我们的运算和证明更自如，但也正是如此，考试才会如此之难（QAQ），一些处理方法很难想。还有一些性质是需要自己总结和感悟的，例如做微分中值定理相关题目时，利用e的性质构造函数并运用前面提到的逆着用、凑着用来完成证明。
最后就是相对套路性的东西，就是书中给出的处理某种命题的固有模式。比如换元的模式，求解特定微分方程的套路，坐标系变换的模式等等。而这些前人开发出来的解法相当实用，作为本科生的我也只能多多使用，直到记下来。这就是平时写作业练习必要性的来源。只不过不能心存一劳永逸的贪念，有些情况可能还要另寻别法。
作为即将进入物理系的人，最后说说物理方面的感悟。虽说我接触了一些四大力学的内容，但数学功底不够，只是粗浅理解思想，所以只能以一个准大学生的角度来简单地谈一谈我的拙见。
首先时刻保持溯源的思想，也就是看到一大堆定理的源头。例如动量定理和动能定理都是由牛顿定律带来的。（动量定理是由牛三+牛二，动能定理是由牛二对位移元积分得到）而这个源头就是物理学的根基，它对于我们将物理“压缩”至关重要的。毕竟物理系学习的目标之一就是能够用几张纸和几个物理定律推导出所有所学的物理知识以及解决实际问题，所以那几个物理定理就需要“压缩”处理来理解记忆。
其二就是推导的力量。这一点“启”源于b站up允文君的文章。直接给出的结论是高度浓缩的，例如F=ma（m不变的情况），对于复杂的问题，如果还用这最根基式的结论，难免要进行复杂的数学处理（积分、微分、凑形式等等）。为了便捷化加速解题速度，避免重复进行繁杂计算，所以才有那么多物理定理。什么平行轴定理、二体问题一体化、动能定理、质心动能定理、电场的高斯定理等等，都是通过推导原先最根基的那部分而来的便捷化的数学表达，在实际问题中相当实用。而且也由此引入许多新的概念，例如质心系等。
其三就是对“特解”的掌握。物理中有许多经典命题，例如自由落体、双星系统、电磁波、平行板问题、双缝干涉等等，都有由定律或定理带来的特解，在明晰怎么推导的前提下，适当地记住这些二级结论利于我们理解特定模型和加快解题的思考速度。也有一种摸透了它们的心理优势，小小的成就感。当然考试之前该背的还得背（QAQ）
最后谈一谈抛开那些课本和习题，来到大自然，面对真实物理世界的想法。首先我们要知道，即使没学物理，我们依然知道如何保持物体稳定平衡，如何折腾光线，如何增加机械效率。所有的一切在实际生产生活中都可以跳过学习物理这一步习得。然而虽然物理规律可以通过人类不断的实践归纳来，但这种实践的方向以及归纳的技巧，没有经过科学训练的人无法胜任。这也是为什么许多物理结论都是反直觉的，因为过去的直觉源于生活经验，而那种经验又是没有经过数学推导蒙对的。所以在学习物理的过程中要不断修正那些错的直觉，培养经过推导的直觉，才能在艰深复杂的问题中少犯错。再来就是不要得意于学会了某些艰深的物理定理或解决了困难的物理习题，世界很大，还要多多关注生活中的实际问题，培养建模能力。在这期间可能会发现自己有些概念没有弄得，赶紧填补，也算是一种反馈方式了。
最后的最后想谈谈其他问题，社会上有许多人问学物理有什么用，生产实践不是照样要从零开始吗？的确，学习物理并不能掌握生产实际（比工科生差太多），也不能投好篮球和打好羽毛球（别问我为什么说这个╮(╯▽╰)╭）。但是，有的是一种踏实，一种让自己明白身边一切科技最本质原理以及人类对世界最前沿的探索的踏实，也许是自己好奇心太强，既想知道技术窍诀又想理解构建的过程和本质。这也许就是我学习物理的初心吧，也不知道在今后的几年里能否保持初心。
2018.8.17