数制、补码、浮点数与字符¶

进位制：位置决定权重¶

\(b\) 进制的 \(n\) 位数可写为：

\[ (d_{n-1}\cdots d_1d_0)_b=\sum_{i=0}^{n-1}d_i b^i. \]

二进制适合两种稳定电平，十六进制则把每 4 位二进制压成一个符号，便于人阅读。比如：

\[ (10110110)_2=(\mathrm{B6})_{16}=182. \]

转换时不要把十六进制当成另一种数据，只是同一位串的紧凑写法。

\(n\) 位无符号数范围为 \(0\) 到 \(2^n-1\)。硬件加法器自然丢弃第 \(n+1\) 位进位，因此运算等价于模 \(2^n\)：

\[ (a+b)_{hardware}=(a+b)\bmod 2^n. \]

8 位无符号数中，\(250+10\) 得到 \(4\)。这不是加法器算错，而是结果超出编码范围。

\(n\) 位补码把负数 \(-x\) 编码为 \(2^n-x\)。因此减法可变成加法：

\[ a-b\equiv a+(2^n-b)\pmod {2^n}. \]

例如 8 位中 \(-5\) 的编码为：

 5        = 00000101
按位取反 = 11111010
再加 1   = 11111011

计算 \(7+(-5)\)：

00000111
11111011
---------
00000010   # 最高进位丢弃

补码范围不对称：

\[ -2^{n-1}\le x\le 2^{n-1}-1. \]

所以最小负数没有对应的正数。两个同号数相加却得到异号结果，说明有符号溢出；无符号溢出则看最高位进位，两种判断不能混用。

定点数约定小数点位置固定，硬件简单、误差可预测，常用于金额和嵌入式控制。浮点数用科学计数法换取更大动态范围。

IEEE 754 单精度由 1 位符号、8 位阶码和 23 位尾数组成。正规数的值为：

\[ (-1)^s\times (1.f)_2\times 2^{e-127}. \]

隐藏的前导 \(1\) 提高了一位有效精度。全零阶码用于零和非正规数，全一阶码用于无穷与 NaN。

\(0.1\) 在二进制中是无限循环小数，只能舍入到有限尾数。每次运算还要对阶、计算和再次舍入。因此浮点数近似实数，却不满足实数运算的全部代数律，例如：

\[ (a+b)+c\ne a+(b+c) \]

在浮点计算中完全可能成立。扩大位数会减小误差，但不能消灭有限表示的根本限制。

字符集回答“每个字符对应哪个码点”，编码回答“码点怎样变成字节”。ASCII 用 7 位覆盖基础英文字符。Unicode 为跨语言字符分配统一码点，UTF-8 再用 1 到 4 个字节变长编码这些码点。

UTF-8 与 ASCII 的前 128 个字符兼容，并让常见英文文本紧凑；代价是“字符数”不等于“字节数”，字符串随机定位更复杂。字形、字符、码点和字节是四个不同层次，乱码通常来自编码契约不一致。