LGW 相变理论与重整化群
概述
连续相变附近，体系会出现越来越大的相关长度。此时许多微观细节会被长距离涨落平均掉，真正重要的是少数慢变量、对称性、维度以及相互作用范围。Landau-Ginzburg-Wilson 理论正是沿着这条思路建立起来的。
这篇笔记按下面的顺序展开：
- 从最简单的 Landau 零模理论出发，只考虑均匀序参量；
- 说明在无梯度项时如何理解 \(y_t\) 和 \(y_h\)；
- 推导 \(y_t,y_h\) 与六个常见临界指数之间的关系；
- 解释平均场理论为什么可看成高维或无穷维极限；
- 引入 Ginzburg 的空间涨落项，得到 LGW 泛函；
- 用量纲分析求 Gaussian 固定点的 \(y_t,y_h\) 与上临界维度；
- 推广到 \(\phi^p\) 相互作用与长程 \(k^\sigma\) 涨落项；
- 用 Wilson RG 的语言重新整理这些结论。
为了避免符号混乱，下文统一记
\[
t\propto T-T_c
\]
为距离临界点的温度变量，\(h\) 为外场，\(d\) 为空间维度。
Landau 零模理论
最简单的无梯度哈密顿量
Landau 理论从序参量出发。对于 Ising 型相变，序参量是标量 \(m\)，体系具有
\[
m\to -m
\]
的对称性。在只保留均匀序参量的情况下，可以写出最简单的 Landau 哈密顿量或自由能：
\[
\mathcal H_L(m)=L^d\left[
\frac{t}{2}m^2+\frac{u}{4}m^4-hm
\right].
\]
这里 \(L^d\) 是系统体积，\(u>0\) 保证自由能稳定。这个理论只保留全空间平均的 \(m\)，因此常被称为零模理论。
平衡态由鞍点方程给出：
\[
\frac{\partial \mathcal H_L}{\partial m}=0.
\]
直接计算得到
\[
tm+um^3-h=0.
\]
当 \(h=0\) 且 \(t<0\) 时，非零解满足
\[
m^2=-\frac{t}{u}.
\]
所以
\[
m\sim (-t)^{1/2},
\]
由此得到平均场指数
\[
\boxed{\beta=\frac12}.
\]
当 \(t>0\) 且 \(h\to 0\) 时，\(m\) 很小，鞍点方程近似为
\[
tm\simeq h.
\]
于是
\[
m\simeq \frac{h}{t},
\]
磁化率为
\[
\chi=\frac{\partial m}{\partial h}\sim t^{-1}.
\]
因此
\[
\boxed{\gamma=1}.
\]
在临界等温线 \(t=0\) 上，
\[
um^3=h,
\]
所以
\[
m\sim h^{1/3},
\]
得到
\[
\boxed{\delta=3}.
\]
再看自由能奇异部分。将 \(m^2=-t/u\) 代回自由能密度，可得
\[
f_{\rm sing}\sim -\frac{t^2}{u}.
\]
比热对应自由能对温度变量的二阶导数，因此
\[
C\sim -\frac{\partial^2 f_{\rm sing}}{\partial t^2}\sim {\rm const}.
\]
平均场比热指数为
\[
\boxed{\alpha=0}.
\]
这一套推导只用到了均匀序参量的鞍点。它可以给出 \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\)，却还没有真正的空间涨落和相关长度。
无梯度项时的 \(y_t\) 和 \(y_h\)
RG 语境下，\(y_t\) 和 \(y_h\) 描述温度变量与外场在尺度变换下的放大规律：
\[
t'=b^{y_t}t,\qquad h'=b^{y_h}h.
\]
纯 Landau 零模理论缺少空间坐标和梯度项，无法直接执行通常的空间粗粒化。不过它仍然可以给出一组有限尺寸意义下的有效标度指数。
在临界点 \(t=h=0\)，四次项控制零模涨落：
\[
\mathcal H_L(m)\sim L^d u m^4.
\]
典型涨落由 \(\mathcal H_L(m)\sim 1\) 估计：
\[
L^d m^4\sim 1.
\]
因此
\[
m\sim L^{-d/4}.
\]
质量项的尺度为
\[
\begin{aligned}
L^d t m^2
&\sim L^d t L^{-d/2}\\
&=tL^{d/2}.
\end{aligned}
\]
所以温度变量的有限尺寸组合是
\[
tL^{d/2}.
\]
这给出零模有效指数
\[
\boxed{y_t^\ast=\frac d2}.
\]
外场项的尺度为
\[
\begin{aligned}
L^d h m
&\sim L^d h L^{-d/4}\\
&=hL^{3d/4}.
\end{aligned}
\]
因此
\[
\boxed{y_h^\ast=\frac{3d}{4}}.
\]
这两个量带有星号，是为了提醒它们属于零模有限尺寸标度。真正的 Gaussian RG 本征值会在加入梯度项后自然出现。
把 \(y_t^\ast,y_h^\ast\) 代入常见标度关系，可以重新得到 Landau 平均场指数。例如
\[
\begin{aligned}
\beta
&=\frac{d-y_h^\ast}{y_t^\ast}\\
&=\frac{d-\frac{3d}{4}}{\frac d2}\\
&=\frac12,
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\gamma
&=\frac{2y_h^\ast-d}{y_t^\ast}\\
&=\frac{\frac{3d}{2}-d}{\frac d2}\\
&=1,
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\delta
&=\frac{y_h^\ast}{d-y_h^\ast}\\
&=\frac{\frac{3d}{4}}{\frac d4}\\
&=3.
\end{aligned}
\]
\(y_t,y_h\) 与六个临界指数
接下来先不限制 \(y_t,y_h\) 的来源，只假设在某个 RG 固定点附近，奇异自由能密度满足齐次标度形式：
\[
f_s(t,h)=b^{-d}f_s(tb^{y_t},hb^{y_h}).
\]
这里 \(b>1\) 表示把长度尺度放大的因子。这个式子是临界指数之间建立联系的核心。
相关长度指数 \(\nu\)
相关长度满足
\[
\xi(t)=b\,\xi(tb^{y_t}).
\]
取
\[
tb^{y_t}=1,
\]
即
\[
b=t^{-1/y_t},
\]
可得
\[
\xi\sim t^{-1/y_t}.
\]
因此
\[
\boxed{\nu=\frac1{y_t}}.
\]
比热指数 \(\alpha\)
令
\[
b=\lvert t\rvert^{-1/y_t}.
\]
自由能奇异部分满足
\[
f_s(t,0)\sim \lvert t\rvert^{d/y_t}.
\]
比热来自自由能对温度变量的二阶导数：
\[
C\sim \frac{\partial^2 f_s}{\partial t^2}.
\]
因此
\[
C\sim \lvert t\rvert^{d/y_t-2}.
\]
得到
\[
\boxed{\alpha=2-\frac d{y_t}}.
\]
序参量指数 \(\beta\)
磁化强度为
\[
m=-\frac{\partial f_s}{\partial h}.
\]
由自由能标度形式可得
\[
m(t,h)=b^{-d+y_h}m(tb^{y_t},hb^{y_h}).
\]
仍取 \(b=\lvert t\rvert^{-1/y_t}\)，有
\[
m(t,0)\sim \lvert t\rvert^{(d-y_h)/y_t}.
\]
所以
\[
\boxed{\beta=\frac{d-y_h}{y_t}}.
\]
磁化率指数 \(\gamma\)
磁化率为
\[
\chi=\frac{\partial m}{\partial h}
=-\frac{\partial^2 f_s}{\partial h^2}.
\]
所以
\[
\chi(t,0)\sim b^{-d+2y_h}.
\]
取 \(b=\lvert t\rvert^{-1/y_t}\)，得到
\[
\chi\sim \lvert t\rvert^{-(2y_h-d)/y_t}.
\]
因此
\[
\boxed{\gamma=\frac{2y_h-d}{y_t}}.
\]
临界等温线指数 \(\delta\)
在 \(t=0\) 时取
\[
hb^{y_h}=1,
\]
即
\[
b=h^{-1/y_h}.
\]
于是
\[
m(0,h)\sim b^{-d+y_h}
\sim h^{(d-y_h)/y_h}.
\]
与
\[
m\sim h^{1/\delta}
\]
比较，得到
\[
\boxed{\delta=\frac{y_h}{d-y_h}}.
\]
反常维数 \(\eta\)
外场项为
\[
\int d^d x\,h\phi.
\]
若场的 scaling dimension 为 \(x_\phi\)，则
\[
y_h=d-x_\phi.
\]
临界点处的关联函数满足
\[
G(r)=\langle \phi(r)\phi(0)\rangle
\sim \frac1{r^{2x_\phi}}.
\]
标准定义写作
\[
G(r)\sim \frac1{r^{d-2+\eta}}.
\]
于是
\[
2x_\phi=d-2+\eta.
\]
代入 \(x_\phi=d-y_h\)，得到
\[
\boxed{\eta=d+2-2y_h}.
\]
常见指数可整理为：
| 指数 |
定义 |
| \(\alpha\) |
\(C\sim \lvert t\rvert^{-\alpha}\) |
| \(\beta\) |
\(m\sim (-t)^\beta\) |
| \(\gamma\) |
\(\chi\sim \lvert t\rvert^{-\gamma}\) |
| \(\delta\) |
\(m\sim h^{1/\delta}\) |
| \(\nu\) |
\(\xi\sim \lvert t\rvert^{-\nu}\) |
| \(\eta\) |
\(G(r)\sim r^{-(d-2+\eta)}\) |
上述关系依赖普通 hyperscaling。高于上临界维度时，危险无关变量会改变有限尺寸标度结构，使用这些关系时需要结合具体固定点判断。
平均场与无穷维图像
Landau 平均场理论忽略空间涨落，只保留一个全局序参量 \(m\)。这等价于假设每个自由度都感受到整体平均环境，局域涨落被充分平均。
高维体系中，这种图像会越来越准确。直观原因包括：
- 格点的有效邻居数增多，单个邻居的涨落影响被平均；
- 随机行走在高维中回返概率降低，局域涨落的反馈变弱；
- 临界涨落相对于平均序参量的贡献下降；
- 鞍点近似越来越稳定。
这一点可以通过 Ginzburg 判据看得更清楚。Landau 平均场给出
\[
m^2\sim \frac{\lvert t\rvert}{u}.
\]
Gaussian 理论中
\[
\xi\sim \lvert t\rvert^{-1/2}.
\]
一个相关体积内的场涨落大致满足
\[
\langle(\delta\phi)^2\rangle_\xi\sim \xi^{2-d}.
\]
于是涨落与平均序参量平方的比值为
\[
\frac{\langle(\delta\phi)^2\rangle_\xi}{m^2}
\sim
\frac{\xi^{2-d}}{\lvert t\rvert}.
\]
代入 \(\xi\sim \lvert t\rvert^{-1/2}\)，得到
\[
\frac{\langle(\delta\phi)^2\rangle_\xi}{m^2}
\sim
\lvert t\rvert^{(d-4)/2}.
\]
当 \(t\to 0\) 时：
- \(d>4\) 时，该比值趋于 \(0\)，平均场稳定；
- \(d<4\) 时，该比值发散，涨落改变临界行为；
- \(d=4\) 时为边缘情况，通常出现对数修正。
因此短程 \(\phi^4\) 理论的上临界维度为
\[
\boxed{d_c=4}.
\]
从这个意义上说，Landau 平均场可看成高维极限或无穷维极限中的临界理论。
Ginzburg 泛函与梯度涨落
Landau 理论只考虑均匀序参量。Ginzburg 的关键推广是允许序参量随空间变化：
\[
m\longrightarrow \phi(x).
\]
自由能也从普通函数推广为泛函：
\[
\mathcal H[\phi]
=\int d^d x
\left[
\frac12(\nabla\phi)^2
+\frac{t}{2}\phi^2
+\frac{u}{4!}\phi^4
-h\phi
\right].
\]
这就是 Landau-Ginzburg-Wilson 理论的基本形式。各项含义如下：
- \(\frac12(\nabla\phi)^2\) 描述空间涨落的代价；
- \(\frac{t}{2}\phi^2\) 是质量项；
- \(\frac{u}{4!}\phi^4\) 是相互作用项；
- \(h\phi\) 是外场耦合。
对于 \(O(n)\) 模型，序参量是 \(n\) 分量场
\[
\boldsymbol\phi=(\phi_1,\cdots,\phi_n),
\]
泛函写为
\[
\mathcal H[\boldsymbol\phi]
=\int d^d x
\left[
\frac12(\nabla\boldsymbol\phi)^2
+\frac{t}{2}\boldsymbol\phi^2
+\frac{u}{4!}(\boldsymbol\phi^2)^2
-\boldsymbol h\cdot\boldsymbol\phi
\right].
\]
加入梯度项之后，理论中出现空间尺度、动量、传播子和相关长度。\(y_t,y_h\) 也就可以通过标准量纲分析得到。
Gaussian 固定点的量纲分析
先看 Gaussian 部分：
\[
\mathcal H_G
=\int d^d x
\left[
\frac12(\nabla\phi)^2
+\frac{t}{2}\phi^2
-h\phi
\right].
\]
量纲分析的原则是让 Gaussian 动能项保持无量纲：
\[
\int d^d x\,(\nabla\phi)^2\sim 1.
\]
由于
\[
[d^d x]\sim L^d,\qquad [\nabla]\sim L^{-1},
\]
可得
\[
L^d L^{-2}[\phi]^2\sim 1.
\]
因此
\[
[\phi]\sim L^{-(d-2)/2}.
\]
场的 scaling dimension 为
\[
\boxed{x_\phi=\frac{d-2}{2}}.
\]
求 \(y_t\)
质量项满足
\[
\int d^d x\,t\phi^2\sim 1.
\]
代入 \([\phi]^2\sim L^{-(d-2)}\)，得到
\[
L^d[t]L^{-(d-2)}\sim 1.
\]
所以
\[
[t]\sim L^{-2}.
\]
对应 RG 本征指数
\[
\boxed{y_t=2}.
\]
求 \(y_h\)
外场项满足
\[
\int d^d x\,h\phi\sim 1.
\]
代入 \([\phi]\sim L^{-(d-2)/2}\)，得到
\[
L^d[h]L^{-(d-2)/2}\sim 1.
\]
因此
\[
[h]\sim L^{-(d+2)/2}.
\]
对应
\[
\boxed{y_h=\frac{d+2}{2}}.
\]
求 \(u\) 与上临界维度
四次项满足
\[
\int d^d x\,u\phi^4\sim 1.
\]
由于
\[
[\phi]^4\sim L^{-2(d-2)},
\]
有
\[
L^d[u]L^{-2(d-2)}\sim 1.
\]
所以
\[
[u]\sim L^{-(4-d)}.
\]
四次耦合的 RG 指数为
\[
\boxed{y_u=4-d}.
\]
于是：
- \(d<4\) 时，\(u\) 为 relevant；
- \(d=4\) 时，\(u\) 为 marginal；
- \(d>4\) 时，\(u\) 为 irrelevant。
上临界维度由 \(y_u=0\) 给出：
\[
\boxed{d_c=4}.
\]
这里的 \(y_t=2\) 和 \(y_h=(d+2)/2\) 是 Gaussian 固定点的量纲分析结果。低于上临界维度时，\(u\) 会把体系带向新的相互作用固定点，真实指数会发生修正。
从 \(\phi^4\) 到 \(\phi^p\)
考虑更一般的相互作用：
\[
\mathcal H[\phi]
=\int d^d x
\left[
\frac12(\nabla\phi)^2
+\frac{t}{2}\phi^2
+g_p\phi^p
-h\phi
\right].
\]
在 Gaussian 固定点，
\[
x_\phi=\frac{d-2}{2}.
\]
因此 \(\phi^p\) 耦合的 RG 指数为
\[
y_p=d-px_\phi.
\]
代入 \(x_\phi\) 得到
\[
y_p=d-\frac{p(d-2)}2.
\]
上临界维度由 \(y_p=0\) 决定：
\[
d-\frac{p(d-2)}2=0.
\]
解得
\[
\boxed{d_c(p)=\frac{2p}{p-2}}.
\]
几个例子为：
| 相互作用 |
上临界维度 |
| \(\phi^3\) |
\(d_c=6\) |
| \(\phi^4\) |
\(d_c=4\) |
| \(\phi^6\) |
\(d_c=3\) |
这里 \(\phi^4\) 对应普通 Ising 或 \(O(n)\) 临界点；\(\phi^6\) 常出现在三临界点，因为此时 \(\phi^4\) 项也需要被调到零；\(\phi^3\) 常出现在缺少 \(\phi\to-\phi\) 对称性的理论中。
对应的 Landau 平均场指数也可以直接求。若
\[
F(m)=L^d\left[
\frac{t}{2}m^2+g_pm^p-hm
\right],
\]
极值方程为
\[
tm+pg_pm^{p-1}-h=0.
\]
当 \(h=0,t<0\) 时，
\[
m^{p-2}\sim -t,
\]
所以
\[
\boxed{\beta=\frac1{p-2}}.
\]
在 \(t=0\) 时，
\[
h\sim m^{p-1},
\]
因此
\[
\boxed{\delta=p-1}.
\]
磁化率仍满足
\[
\boxed{\gamma=1}.
\]
自由能奇异部分满足
\[
f_s\sim \lvert t\rvert^{p/(p-2)}.
\]
于是
\[
\boxed{\alpha=2-\frac{p}{p-2}=\frac{p-4}{p-2}}.
\]
例如 \(p=4\) 给出普通平均场指数；\(p=6\) 给出三临界平均场指数：
\[
\alpha=\frac12,\qquad
\beta=\frac14,\qquad
\gamma=1,\qquad
\delta=5.
\]
从 \(k^2\) 到 \(k^\sigma\)：长程情况
短程体系的 Gaussian 涨落项在动量空间中为
\[
k^2|\phi_k|^2.
\]
对于长程相互作用，低动量行为常写为
\[
k^\sigma|\phi_k|^2.
\]
对应的实空间形式可记为分数 Laplacian：
\[
\frac12\int d^d x\,
\phi(x)(-\nabla^2)^{\sigma/2}\phi(x).
\]
此时 Gaussian 泛函为
\[
\mathcal H_G
=\int d^d x
\left[
\frac12\phi(-\nabla^2)^{\sigma/2}\phi
+\frac{t}{2}\phi^2
-h\phi
\right].
\]
量纲分析从长程动能项开始：
\[
\int d^d x\,\phi(-\nabla^2)^{\sigma/2}\phi\sim 1.
\]
由于
\[
(-\nabla^2)^{\sigma/2}\sim L^{-\sigma},
\]
有
\[
L^d[\phi]^2L^{-\sigma}\sim 1.
\]
所以
\[
[\phi]\sim L^{-(d-\sigma)/2},
\]
即
\[
\boxed{x_\phi=\frac{d-\sigma}{2}}.
\]
质量项给出
\[
\boxed{y_t=\sigma}.
\]
外场项给出
\[
\boxed{y_h=\frac{d+\sigma}{2}}.
\]
四次项的指数为
\[
\begin{aligned}
y_u
&=d-4x_\phi\\
&=d-2(d-\sigma)\\
&=2\sigma-d.
\end{aligned}
\]
因此长程 \(\phi^4\) 理论的上临界维度为
\[
\boxed{d_c=2\sigma}.
\]
更一般地，长程 \(\phi^p\) 理论满足
\[
y_p=d-p\frac{d-\sigma}{2}.
\]
令 \(y_p=0\)，得到
\[
\boxed{d_c(p,\sigma)=\frac{p\sigma}{p-2}}.
\]
当 \(\sigma=2\) 时，回到短程结果：
\[
d_c(p)=\frac{2p}{p-2}.
\]
长程 Gaussian 传播子满足
\[
G(k)\sim \frac1{k^\sigma}.
\]
而一般临界理论中
\[
G(k)\sim \frac1{k^{2-\eta}}.
\]
因此长程 Gaussian 区域中
\[
\boxed{\eta=2-\sigma}.
\]
长程模型还存在长程固定点与短程固定点之间的 crossover。简单量纲分析给出边界 \(\sigma=2\)，更精细的 Sak 判据会把边界修正为 \(\sigma_\ast=2-\eta_{\rm SR}\)。
Wilson RG 的理论深化
Landau 与 Ginzburg 的构造给出了有效场论。Wilson RG 进一步说明这些有效理论为什么具有普适性，以及为什么低维涨落会改变平均场指数。
从 LGW 泛函出发：
\[
\mathcal H[\phi]
=\int d^d x
\left[
\frac12(\nabla\phi)^2
+\frac{t}{2}\phi^2
+\frac{u}{4!}\phi^4
-h\phi
+\cdots
\right].
\]
Wilson RG 的基本步骤如下。
第一步，将场分成慢模和快模：
\[
\phi=\phi_<+\phi_>,
\]
其中
\[
\phi_<:\ |k|<\Lambda/b,
\qquad
\phi_>:\ \Lambda/b<|k|<\Lambda.
\]
第二步，积分掉快模：
\[
e^{-\mathcal H_{\rm eff}[\phi_<]}
=\int D\phi_>\,
e^{-\mathcal H[\phi_<+\phi_>]}.
\]
第三步，重新缩放动量、坐标和场：
\[
k'=bk,\qquad x'=x/b,
\]
\[
\phi'(x')=b^{x_\phi}\phi(x).
\]
完成这些步骤后，耦合常数会发生流动：
\[
t\to t',\qquad h\to h',\qquad u\to u'.
\]
固定点满足耦合在尺度变换下保持不变。固定点附近可以线性化：
\[
t'=b^{y_t}t,\qquad h'=b^{y_h}h,\qquad u'=b^{y_u}u.
\]
若 \(y>0\)，该扰动为 relevant；若 \(y<0\)，该扰动为 irrelevant；若 \(y=0\)，该扰动为 marginal，需要更高阶分析。
Gaussian 固定点为
\[
u^\ast=0.
\]
在短程 \(\phi^4\) 理论中，
\[
y_t=2,\qquad
y_h=\frac{d+2}{2},\qquad
y_u=4-d.
\]
因此：
- \(d>4\) 时，\(u\) 在长距离下衰减，平均场指数成立；
- \(d=4\) 时，\(u\) 为边缘变量，出现对数修正；
- \(d<4\) 时，\(u\) 增长，Gaussian 固定点不稳定。
当 \(d<4\) 时，体系会流向 Wilson-Fisher 固定点：
\[
u^\ast\neq 0.
\]
在这个固定点，临界指数包含涨落修正。例如三维 Ising 普适类中，
\[
\nu\approx 0.630,\qquad \eta\approx 0.036.
\]
于是
\[
y_t=\frac1\nu\approx 1.587,
\]
\[
y_h=\frac{d+2-\eta}{2}\approx 2.482.
\]
这说明量纲分析能准确给出 Gaussian 固定点附近的指数和上临界维度；若体系流向相互作用固定点，真实指数需要 Wilson RG、\(\epsilon\) 展开、Monte Carlo 或 bootstrap 等方法来确定。
总结
从最简单的 Landau 零模理论开始，可以得到平均场指数
\[
\alpha=0,\qquad
\beta=\frac12,\qquad
\gamma=1,\qquad
\delta=3.
\]
在零模有限尺寸意义下，临界涨落给出
\[
\boxed{y_t^\ast=\frac d2,\qquad y_h^\ast=\frac{3d}{4}}.
\]
加入 Ginzburg 梯度项后，Gaussian 固定点的量纲分析给出
\[
\boxed{y_t=2,\qquad y_h=\frac{d+2}{2},\qquad y_u=4-d}.
\]
短程 \(\phi^4\) 理论的上临界维度为
\[
\boxed{d_c=4}.
\]
若相互作用推广为 \(\phi^p\)，则
\[
\boxed{d_c(p)=\frac{2p}{p-2}}.
\]
若涨落项从 \(k^2\) 推广为 \(k^\sigma\)，则
\[
\boxed{y_t=\sigma,\qquad y_h=\frac{d+\sigma}{2},\qquad d_c=2\sigma}.
\]
更一般地，
\[
\boxed{d_c(p,\sigma)=\frac{p\sigma}{p-2}}.
\]
最后，\(y_t,y_h\) 与六个常见临界指数之间的关系为
\[
\boxed{
\nu=\frac1{y_t},\quad
\alpha=2-\frac d{y_t},\quad
\beta=\frac{d-y_h}{y_t},\quad
\gamma=\frac{2y_h-d}{y_t},\quad
\delta=\frac{y_h}{d-y_h},\quad
\eta=d+2-2y_h
}.
\]
这些公式把 Landau 平均场、Ginzburg 涨落、Wilson RG 和有限尺寸标度连接在一起。实际使用时，需要先判断体系对应的固定点，再决定使用 Gaussian 指数、平均场指数，或带有涨落修正的非平庸指数。