LGW 相变理论与重整化群

概述

连续相变附近，体系会出现越来越大的相关长度。此时许多微观细节会被长距离涨落平均掉，真正重要的是少数慢变量、对称性、维度以及相互作用范围。Landau-Ginzburg-Wilson 理论正是沿着这条思路建立起来的。

LGW 与 RG 的基本结构包括：

1. 从最简单的 Landau 零模理论出发，只考虑均匀序参量；
2. 说明在无梯度项时如何理解 \(y_t\) 和 \(y_h\)；
3. 推导 \(y_t,y_h\) 与六个常见临界指数之间的关系；
4. 解释平均场理论为什么可看成高维或无穷维极限；
5. 引入 Ginzburg 的空间涨落项，得到 LGW 泛函；
6. 用量纲分析求 Gaussian 固定点的 \(y_t,y_h\) 与上临界维度；
7. 推广到 \(\phi^p\) 相互作用与长程 \(k^\sigma\) 涨落项；
8. 用 Wilson RG 的语言重新整理这些结论。

为了避免符号混乱，下文统一记

\[ t\propto T-T_c \]

为距离临界点的温度变量，\(h\) 为外场，\(d\) 为空间维度。

Landau 零模理论

最简单的无梯度哈密顿量

Landau 理论从序参量出发。对于 Ising 型相变，序参量是标量 \(m\)，体系具有

\[ m\to -m \]

的对称性。在只保留均匀序参量的情况下，可以写出最简单的 Landau 哈密顿量或自由能：

\[ \mathcal H_L(m)=L^d\left[ \frac{t}{2}m^2+\frac{u}{4}m^4-hm \right]. \]

这里 \(L^d\) 是系统体积，\(u>0\) 保证自由能稳定。这个理论只保留全空间平均的 \(m\)，因此常被称为零模理论。

平衡态由鞍点方程给出：

\[ \frac{\partial \mathcal H_L}{\partial m}=0. \]

直接计算得到

\[ tm+um^3-h=0. \]

当 \(h=0\) 且 \(t<0\) 时，非零解满足

\[ m^2=-\frac{t}{u}. \]

所以

\[ m\sim (-t)^{1/2}, \]

由此得到平均场指数

\[ \boxed{\beta=\frac12}. \]

当 \(t>0\) 且 \(h\to 0\) 时，\(m\) 很小，鞍点方程近似为

\[ tm\simeq h. \]

于是

\[ m\simeq \frac{h}{t}, \]

磁化率为

\[ \chi=\frac{\partial m}{\partial h}\sim t^{-1}. \]

因此

\[ \boxed{\gamma=1}. \]

在临界等温线 \(t=0\) 上，

\[ um^3=h, \]

所以

\[ m\sim h^{1/3}, \]

得到

\[ \boxed{\delta=3}. \]

再看自由能奇异部分。将 \(m^2=-t/u\) 代回自由能密度，可得

\[ f_{\rm sing}\sim -\frac{t^2}{u}. \]

比热对应自由能对温度变量的二阶导数，因此

\[ C\sim -\frac{\partial^2 f_{\rm sing}}{\partial t^2}\sim {\rm const}. \]

平均场比热指数为

\[ \boxed{\alpha=0}. \]

这一套推导只用到了均匀序参量的鞍点。它可以给出 \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\)，却还没有真正的空间涨落和相关长度。

无梯度项时的温度和磁场指数

RG 语境下，\(y_t\) 和 \(y_h\) 描述温度变量与外场在尺度变换下的放大规律：

\[ t'=b^{y_t}t,\qquad h'=b^{y_h}h. \]

纯 Landau 零模理论缺少空间坐标和梯度项，无法直接执行通常的空间粗粒化。不过它仍然可以给出一组有限尺寸意义下的有效标度指数。

在临界点 \(t=h=0\)，四次项控制零模涨落：

\[ \mathcal H_L(m)\sim L^d u m^4. \]

典型涨落由 \(\mathcal H_L(m)\sim 1\) 估计：

\[ L^d m^4\sim 1. \]

因此

\[ m\sim L^{-d/4}. \]

质量项的尺度为

\[ \begin{aligned} L^d t m^2 &\sim L^d t L^{-d/2}\\ &=tL^{d/2}. \end{aligned} \]

所以温度变量的有限尺寸组合是

\[ tL^{d/2}. \]

这给出零模有效指数

\[ \boxed{y_t^\ast=\frac d2}. \]

外场项的尺度为

\[ \begin{aligned} L^d h m &\sim L^d h L^{-d/4}\\ &=hL^{3d/4}. \end{aligned} \]

因此

\[ \boxed{y_h^\ast=\frac{3d}{4}}. \]

这两个量带有星号，是为了提醒它们属于零模有限尺寸标度。真正的 Gaussian RG 本征值会在加入梯度项后自然出现。

把 \(y_t^\ast,y_h^\ast\) 代入常见标度关系，可以重新得到 Landau 平均场指数。例如

\[ \begin{aligned} \beta &=\frac{d-y_h^\ast}{y_t^\ast}\\ &=\frac{d-\frac{3d}{4}}{\frac d2}\\ &=\frac12, \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \gamma &=\frac{2y_h^\ast-d}{y_t^\ast}\\ &=\frac{\frac{3d}{2}-d}{\frac d2}\\ &=1, \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \delta &=\frac{y_h^\ast}{d-y_h^\ast}\\ &=\frac{\frac{3d}{4}}{\frac d4}\\ &=3. \end{aligned} \]

温度和磁场指数与六个临界指数

下面用 \(y_t,y_h\) 推导六个常见临界指数。

接下来先不限制 \(y_t,y_h\) 的来源，只假设在某个 RG 固定点附近，奇异自由能密度满足齐次标度形式：

\[ f_s(t,h)=b^{-d}f_s(tb^{y_t},hb^{y_h}). \]

这里 \(b>1\) 表示把长度尺度放大的因子。这个式子是临界指数之间建立联系的核心。

先解释一下这个式子里最容易让人困惑的因子 \(b^{-d}\)。RG 变换可以理解为两步：先把短距离自由度粗粒化掉，再把长度单位重新放大。若系统线性尺寸为 \(L\)，一次尺度因子为 \(b\) 的 RG 之后，

\[ L\to L'=\frac{L}{b}. \]

因此格点数或体积尺度从

\[ L^d \]

变为

\[ \left(\frac{L}{b}\right)^d. \]

也就是说，一个新的粗粒化格点代表原来的

\[ b^d \]

个微观格点。二维系统中，若原来是 \(8\times 8\) 的格子，取 \(b=2\) 后就变成 \(4\times 4\) 的粗粒化格子，自由度数减少

\[ \frac{8^2}{4^2}=4=2^2=b^d. \]

自由能密度定义为

\[ f=\frac{F}{V}. \]

由于它是每单位体积的自由能，粗粒化之后一个新单位体积对应原来的 \(b^d\) 个微观体积单位。若仍用原来的微观体积单位来表示密度，就会出现

\[ f_s\to b^{-d}f_s. \]

这正是标度公式前面 \(b^{-d}\) 的来源。它并不表示物理自由能凭空消失，而是表示描述单位变粗后，单位体积的计数方式发生了变化。

这里也要分清主动和被动两种视角。主动地说，block spin 把 \(b^d\) 个微观格点合成一个粗格点，格点间距从

\[ a\to a'=ba. \]

被动地说，我们换用粗粒化后的坐标系，把原来长度为 \(b\) 的距离记成新坐标里的 \(1\)，也就是

\[ x\to x'=\frac{x}{b}, \qquad x=bx'. \]

这两种写法并不矛盾。\(a'=ba\) 强调观察尺度变粗；\(x'=x/b\) 强调坐标数值按新单位重新计量。连续积分测度也随之变为

\[ d^dx'=b^{-d}d^dx. \]

因此在自由能密度的标度关系中，\(b^{-d}\) 可以看作体积单位重新计量带来的因子。

耦合参数同时发生流动：

\[ t\to t'=tb^{y_t}, \qquad h\to h'=hb^{y_h}. \]

若 \(y_t>0\)，温度偏离量是 relevant 方向；只要 \(t\ne0\)，粗粒化后它会越来越明显。若 \(y_h>0\)，外场也是 relevant 方向。临界点满足

\[ t=0,\qquad h=0, \]

在 RG 后仍然是

\[ t'=0,\qquad h'=0, \]

因此它对应一个固定点。

参数变换与空间变换是同一套 RG 逻辑的两面。空间坐标重新定义为

\[ x'=\frac{x}{b}, \]

所有带尺度量纲的对象都要跟着重新定义。场本身有 scaling dimension：

\[ \phi'(x')=b^{x_\phi}\phi(bx'). \]

温度偏离量 \(t\) 在 RG 语言中表示某个算符前面的 coupling。以 LGW 泛函为例：

\[ \mathcal H[\phi] = \int d^dx \left[ \frac12(\nabla\phi)^2 +\frac{t}{2}\phi^2 +\frac{u}{4!}\phi^4 -h\phi \right]. \]

这里 \(t\) 乘在 \(\phi^2\) 前面，\(h\) 乘在 \(\phi\) 前面。更一般地，如果某个扰动写成

\[ \delta\mathcal H = g\int d^dx\,\mathcal O(x), \]

而算符 \(\mathcal O\) 的 scaling dimension 为 \(\Delta_{\mathcal O}\)，即

\[ \mathcal O(x)=b^{-\Delta_{\mathcal O}}\mathcal O'(x'), \]

同时

\[ d^dx=b^d d^dx', \]

那么这个 coupling 在 RG 后变为

\[ g'=g b^{d-\Delta_{\mathcal O}}. \]

因此

\[ \boxed{y_g=d-\Delta_{\mathcal O}}. \]

对温度场和磁场分别有

\[ y_t=d-\Delta_{\phi^2}, \qquad y_h=d-\Delta_\phi. \]

临界现象中常写

\[ \Delta_\phi=\frac{d-2+\eta}{2}, \]

于是

\[ \boxed{ y_h=d-\Delta_\phi =\frac{d+2-\eta}{2} }. \]

这说明 \(t\to tb^{y_t}\) 和 \(h\to hb^{y_h}\) 来自空间缩放与算符缩放共同诱导出的 coupling 变换。

还可以从相关体积理解 \(f_s\) 的大小。临界附近的奇异自由能密度有估计

\[ f_s\sim \xi^{-d}. \]

一个相关体积 \(\xi^d\) 大约贡献一个独立的临界自由能量级，所以单位体积中的独立临界涨落数目约为 \(1/\xi^d\)。当接近临界点时 \(\xi\to\infty\)，于是 \(f_s\) 本身可以趋向于零；真正发散的通常是它的导数，例如比热和磁化率：

\[ C\sim \frac{\partial^2 f_s}{\partial t^2}, \qquad \chi\sim \frac{\partial^2 f_s}{\partial h^2}. \]

完整自由能可分成解析部分与奇异部分：

\[ f(t,h)=f_{\rm regular}(t,h)+f_s(t,h). \]

RG 标度主要描述的是其中负责临界奇异性的 \(f_s\)。

相关长度指数

由相关长度的标度式可以得到 \(\nu\)。

相关长度满足

\[ \xi(t)=b\,\xi(tb^{y_t}). \]

取

\[ tb^{y_t}=1, \]

即

\[ b=t^{-1/y_t}, \]

可得

\[ \xi\sim t^{-1/y_t}. \]

因此

\[ \boxed{\nu=\frac1{y_t}}. \]

比热指数

由奇异自由能的标度式可以得到 \(\alpha\)。

令

\[ b=\lvert t\rvert^{-1/y_t}. \]

自由能奇异部分满足

\[ f_s(t,0)\sim \lvert t\rvert^{d/y_t}. \]

比热来自自由能对温度变量的二阶导数：

\[ C\sim \frac{\partial^2 f_s}{\partial t^2}. \]

因此

\[ C\sim \lvert t\rvert^{d/y_t-2}. \]

得到

\[ \boxed{\alpha=2-\frac d{y_t}}. \]

序参量指数

由磁化强度的标度式可以得到 \(\beta\)。

磁化强度为

\[ m=-\frac{\partial f_s}{\partial h}. \]

由自由能标度形式可得

\[ m(t,h)=b^{-d+y_h}m(tb^{y_t},hb^{y_h}). \]

仍取 \(b=\lvert t\rvert^{-1/y_t}\)，有

\[ m(t,0)\sim \lvert t\rvert^{(d-y_h)/y_t}. \]

所以

\[ \boxed{\beta=\frac{d-y_h}{y_t}}. \]

磁化率指数

由磁化率的标度式可以得到 \(\gamma\)。

磁化率为

\[ \chi=\frac{\partial m}{\partial h} =-\frac{\partial^2 f_s}{\partial h^2}. \]

所以

\[ \chi(t,0)\sim b^{-d+2y_h}. \]

取 \(b=\lvert t\rvert^{-1/y_t}\)，得到

\[ \chi\sim \lvert t\rvert^{-(2y_h-d)/y_t}. \]

因此

\[ \boxed{\gamma=\frac{2y_h-d}{y_t}}. \]

临界等温线指数

由临界等温线上的磁化响应可以得到 \(\delta\)。

在 \(t=0\) 时取

\[ hb^{y_h}=1, \]

即

\[ b=h^{-1/y_h}. \]

于是

\[ m(0,h)\sim b^{-d+y_h} \sim h^{(d-y_h)/y_h}. \]

与

\[ m\sim h^{1/\delta} \]

比较，得到

\[ \boxed{\delta=\frac{y_h}{d-y_h}}. \]

反常维数

由临界点关联函数的尺度变换可以得到 \(\eta\)。

外场项为

\[ \int d^d x\,h\phi. \]

若场的 scaling dimension 为 \(x_\phi\)，则

\[ y_h=d-x_\phi. \]

临界点处的关联函数满足

\[ G(r)=\langle \phi(r)\phi(0)\rangle \sim \frac1{r^{2x_\phi}}. \]

标准定义写作

\[ G(r)\sim \frac1{r^{d-2+\eta}}. \]

于是

\[ 2x_\phi=d-2+\eta. \]

代入 \(x_\phi=d-y_h\)，得到

\[ \boxed{\eta=d+2-2y_h}. \]

常见指数可整理为：

指数	定义
\(\alpha\)	\(C\sim \lvert t\rvert^{-\alpha}\)
\(\beta\)	\(m\sim (-t)^\beta\)
\(\gamma\)	\(\chi\sim \lvert t\rvert^{-\gamma}\)
\(\delta\)	\(m\sim h^{1/\delta}\)
\(\nu\)	\(\xi\sim \lvert t\rvert^{-\nu}\)
\(\eta\)	\(G(r)\sim r^{-(d-2+\eta)}\)

上述关系依赖普通 hyperscaling。高于上临界维度时，危险无关变量会改变有限尺寸标度结构，使用这些关系时需要结合具体固定点判断。

平均场与无穷维图像

Landau 平均场理论忽略空间涨落，只保留一个全局序参量 \(m\)。这等价于假设每个自由度都感受到整体平均环境，局域涨落被充分平均。

高维体系中，这种图像会越来越准确。直观原因包括：

• 格点的有效邻居数增多，单个邻居的涨落影响被平均；
• 随机行走在高维中回返概率降低，局域涨落的反馈变弱；
• 临界涨落相对于平均序参量的贡献下降；
• 鞍点近似越来越稳定。

这一点可以通过 Ginzburg 判据看得更清楚。Landau 平均场给出

\[ m^2\sim \frac{\lvert t\rvert}{u}. \]

Gaussian 理论中

\[ \xi\sim \lvert t\rvert^{-1/2}. \]

一个相关体积内的场涨落大致满足

\[ \langle(\delta\phi)^2\rangle_\xi\sim \xi^{2-d}. \]

于是涨落与平均序参量平方的比值为

\[ \frac{\langle(\delta\phi)^2\rangle_\xi}{m^2} \sim \frac{\xi^{2-d}}{\lvert t\rvert}. \]

代入 \(\xi\sim \lvert t\rvert^{-1/2}\)，得到

\[ \frac{\langle(\delta\phi)^2\rangle_\xi}{m^2} \sim \lvert t\rvert^{(d-4)/2}. \]

当 \(t\to 0\) 时：

• \(d>4\) 时，该比值趋于 \(0\)，平均场稳定；
• \(d<4\) 时，该比值发散，涨落改变临界行为；
• \(d=4\) 时为边缘情况，通常出现对数修正。

因此短程 \(\phi^4\) 理论的上临界维度为

\[ \boxed{d_c=4}. \]

从这个意义上说，Landau 平均场可看成高维极限或无穷维极限中的临界理论。

Ginzburg 泛函与梯度涨落

Landau 理论只考虑均匀序参量。Ginzburg 的关键推广是允许序参量随空间变化：

\[ m\longrightarrow \phi(x). \]

自由能也从普通函数推广为泛函：

\[ \mathcal H[\phi] =\int d^d x \left[ \frac12(\nabla\phi)^2 +\frac{t}{2}\phi^2 +\frac{u}{4!}\phi^4 -h\phi \right]. \]

这就是 Landau-Ginzburg-Wilson 理论的基本形式。各项含义如下：

• \(\frac12(\nabla\phi)^2\) 描述空间涨落的代价；
• \(\frac{t}{2}\phi^2\) 是质量项；
• \(\frac{u}{4!}\phi^4\) 是相互作用项；
• \(h\phi\) 是外场耦合。

对于 \(O(n)\) 模型，序参量是 \(n\) 分量场

\[ \boldsymbol\phi=(\phi_1,\cdots,\phi_n), \]

泛函写为

\[ \mathcal H[\boldsymbol\phi] =\int d^d x \left[ \frac12(\nabla\boldsymbol\phi)^2 +\frac{t}{2}\boldsymbol\phi^2 +\frac{u}{4!}(\boldsymbol\phi^2)^2 -\boldsymbol h\cdot\boldsymbol\phi \right]. \]

加入梯度项之后，理论中出现空间尺度、动量、传播子和相关长度。\(y_t,y_h\) 也就可以通过标准量纲分析得到。

Gaussian 固定点的量纲分析

先从完整的短程 \(\phi^4\) 理论写起：

\[ \mathcal H =\int d^d x \left[ \frac K2(\nabla\phi)^2 +\frac{t}{2}\phi^2 +\frac u{4!}\phi^4 -h\phi \right]. \]

Gaussian fixed point 指的是相互作用和相关扰动都取固定点值：

\[ u^\ast=0,\qquad t^\ast=0,\qquad h^\ast=0. \]

此时长波哈密顿量只剩二次型：

\[ \mathcal H_{\rm G} = \frac12\int d^dx\, K(\nabla\phi)^2. \]

这才是 “Gaussian” 的来源：哈密顿量是二次型，路径积分是 Gaussian 积分，不同动量模式之间没有相互作用。传播子为

\[ G(k)=\frac{1}{Kk^2+t}. \]

在临界点 \(t=0\)，\(K\) 只改变传播子的整体振幅：

\[ G(k)\sim \frac{1}{Kk^2}. \]

因此可以通过场重定义把 \(K\) 吸收到 \(\phi\) 中：

\[ \phi'=\sqrt K\,\phi. \]

这一步只是选择场的归一化，或称 canonical normalization。固定 \(K=1\) 不是 Gaussian fixed point 的定义；Gaussian fixed point 的定义是 \(u^\ast=0\)，也就是固定点哈密顿量只有二次型。

在这个固定点附近做量纲分析时，我们先用二次梯度项决定场的工程量纲。也就是要求

\[ \int d^d x\,(\nabla\phi)^2\sim 1. \]

这里并不是说只有梯度项无量纲。完整哈密顿量中的每一项最终都必须无量纲：

\[ \int d^dx\,t\phi^2,\qquad \int d^dx\,u\phi^4,\qquad \int d^dx\,h\phi \]

也都要无量纲。区别在于：梯度项先用来选择 \(\phi\) 的归一化；一旦 \(\phi\) 的量纲确定，其他项的无量纲条件就用来决定 \(t,u,h\) 的量纲。

这一步也解释了为什么这是 Gaussian 固定点附近的量纲分析：我们把 \(\phi^4\) 项看成加在二次自由理论上的扰动

\[ \delta\mathcal H = \int d^dx\,u\phi^4, \]

然后问这个扰动在 Gaussian 固定点附近是 relevant 还是 irrelevant。若真正的固定点是 Wilson-Fisher 固定点，也就是

\[ u^\ast\ne0, \]

那么场的 scaling dimension 不再只是工程量纲，算符也可能发生混合，需要在新固定点附近重新线性化 RG。

这里先说明一个容易混淆的记号问题。前面讲 RG 粗粒化时，我们使用的是被动坐标：

\[ x\to x'=\frac{x}{b}. \]

它的意思是：粗粒化后一个新单位长度代表原来的 \(b\) 个微观长度，所以同一段物理距离在新坐标里的数值变小。

而在量纲分析中，我们常说某个量在长度尺度 \(L\) 下如何缩放，或者等价地写“大尺度”

\[ L\to bL. \]

这不是另一个 RG 规则，而是同一件事的主动说法：我们在问把观察距离放大 \(b\) 倍时，场和耦合常数应带什么长度量纲。两种写法的对应关系是：

视角	写法	含义
被动坐标重计量	\(x'=x/b\)	同一段距离用粗坐标表示，数值变小
主动尺度放大	\(L\to bL\)	观察更大的物理长度尺度

所以这里用 \(L\) 的幂次做量纲分析，和前面的 \(x'=x/b\) 不矛盾。它们只是一个从坐标数值看，一个从物理长度尺度看。

\(K\) 的存在不会改变 Gaussian 固定点处的工程量纲，但这不等于说 \(K\) 在物理上永远无所谓。\(K\) 会影响非普适量，例如相关长度的振幅、刚度、helicity modulus 的数值单位等。普适临界指数不依赖 \(K\) 的具体取值，是因为在固定点分析中可以用场归一化把梯度项系数固定住，再研究 \(t,h,u\) 等真正改变长距离行为的方向。

若模型的长波动能不是 \(k^2\)，而是长程相互作用中常见的 \(k^\sigma\)，那就要把梯度项换成对应的非局域 Gaussian 项，场的量纲也会改变。短程 \(\phi^4\) 理论这里默认的是 \(k^2\) 动能。

另外，若写成线性的 \(K\nabla\phi\)，它通常不是稳定的体积动能项。对标量场，

\[ \int d^dx\,\nabla\phi \]

是边界项；在周期边界或无边界情形下不控制体涨落。真正控制 Gaussian 长波涨落的是二次型 \((\nabla\phi)^2\)。

由于

\[ [d^d x]\sim L^d,\qquad [\nabla]\sim L^{-1}, \]

可得

\[ L^d L^{-2}[\phi]^2\sim 1. \]

因此

\[ [\phi]\sim L^{-(d-2)/2}. \]

场的 scaling dimension 为

\[ \boxed{x_\phi=\frac{d-2}{2}}. \]

求温度指数

这里求 \(y_t\)。

质量项满足

\[ \int d^d x\,t\phi^2\sim 1. \]

代入 \([\phi]^2\sim L^{-(d-2)}\)，得到

\[ L^d[t]L^{-(d-2)}\sim 1. \]

所以

\[ [t]\sim L^{-2}. \]

对应 RG 本征指数

\[ \boxed{y_t=2}. \]

求磁场指数

这里求 \(y_h\)。

外场项满足

\[ \int d^d x\,h\phi\sim 1. \]

代入 \([\phi]\sim L^{-(d-2)/2}\)，得到

\[ L^d[h]L^{-(d-2)/2}\sim 1. \]

因此

\[ [h]\sim L^{-(d+2)/2}. \]

对应

\[ \boxed{y_h=\frac{d+2}{2}}. \]

求四次耦合与上临界维度

这里求 \(u\) 的标度量纲与上临界维度。

四次项满足

\[ \int d^d x\,u\phi^4\sim 1. \]

由于

\[ [\phi]^4\sim L^{-2(d-2)}, \]

有

\[ L^d[u]L^{-2(d-2)}\sim 1. \]

所以

\[ [u]\sim L^{-(4-d)}. \]

四次耦合的 RG 指数为

\[ \boxed{y_u=4-d}. \]

于是：

• \(d<4\) 时，\(u\) 为 relevant；
• \(d=4\) 时，\(u\) 为 marginal；
• \(d>4\) 时，\(u\) 为 irrelevant。

上临界维度由 \(y_u=0\) 给出：

\[ \boxed{d_c=4}. \]

这里的 \(y_t=2\) 和 \(y_h=(d+2)/2\) 是 Gaussian 固定点的量纲分析结果。低于上临界维度时，\(u\) 会把体系带向新的相互作用固定点，真实指数会发生修正。

需要强调：这不是说 \(y_u\) 像一个外力一样把 \(y_t,y_h\) “直接重整化掉”。更准确的说法是：

1. 在 Gaussian 固定点附近，线性化 RG 的本征值是

\[ y_t^{\rm G}=2,\qquad y_h^{\rm G}=\frac{d+2}{2},\qquad y_u^{\rm G}=4-d. \]

1. 当 \(d<4\) 时，\(y_u^{\rm G}>0\)，所以只要 \(u\) 不严格等于零，RG 流就会离开 Gaussian 固定点。

2. 流离开之后，会到达另一个固定点，也就是 Wilson-Fisher 固定点：

\[ u^\ast\ne0. \]

1. 真正的临界指数应当在新固定点附近重新线性化 RG 得到：

\[ y_t=\frac1\nu,\qquad y_h=\frac{d+2-\eta}{2}. \]

因此，低维中的指数变化来自“控制长距离物理的固定点变了”，而不是在同一个 Gaussian 固定点上把 \(y_t,y_h\) 随手改一下。\(u\) 的作用是让 Gaussian 固定点不稳定，并把系统带到带相互作用的 Wilson-Fisher 固定点。

这也是为什么 \(d<4\) 的 Ising、\(O(n)\) 模型不再有平均场指数。以三维 Ising 为例，

\[ \nu\approx0.630,\qquad \eta\approx0.036, \]

所以

\[ y_t\approx1.587,\qquad y_h\approx\frac{3+2-0.036}{2}\approx2.482, \]

明显不同于 Gaussian 的

\[ y_t^{\rm G}=2,\qquad y_h^{\rm G}=2.5. \]

Dangerous irrelevant variable 是什么意思

当 \(d>4\) 时，

\[ y_u=4-d<0, \]

所以 \(u\) 在 Gaussian 固定点是 irrelevant。普通 irrelevant 变量的意思是：长距离下它越来越小，临界指数和主导标度函数通常不依赖它。

但是 \(\phi^4\) 理论中的 \(u\) 在 \(d>4\) 有一个特殊性：它虽然在 RG 意义下 irrelevant，却不能在所有问题里直接设成零。原因是它负责稳定 Landau 自由能。若只保留

\[ F(m)\sim L^d\left(\frac t2m^2-hm\right), \]

在 \(t<0\) 的有序相或临界零模涨落中，自由能没有稳定的四次项，磁化分布无法正常归一化。必须保留

\[ F(m)\sim L^d\left(\frac t2m^2+\frac u4m^4-hm\right). \]

这就是 dangerous irrelevant variable 的含义：

\(u\) 对固定点稳定性和临界指数来说是 irrelevant，但某些物理量的振幅、有限尺寸标度或有序相标度会以奇异方式依赖 \(u\)，因此不能简单令 \(u=0\)。

一个直接例子是在临界点 \(t=h=0\)，零模满足

\[ L^d u m^4\sim1, \]

所以

\[ m\sim u^{-1/4}L^{-d/4}, \qquad \chi\sim u^{-1/2}L^{d/2}. \]

这里的 \(u^{-1/4}\) 和 \(u^{-1/2}\) 说明了 dangerous 的含义：若天真地令 \(u\to0\)，这些量反而发散。\(u\) 在 RG 下变小，但它仍以奇异振幅进入某些观测量。这也是高维 PBC 中会出现

\[ y_t^{\rm CG}=\frac d2,\qquad y_h^{\rm CG}=\frac{3d}{4} \]

这类零模有限尺寸指数的根源。

也可以换一种说法：高维 PBC 的 GFP+CG 两尺度图像，是对最终标度结构的描述；dangerous irrelevant variable 是在 \(\phi^4\) RG 语言中解释 CG 零模为什么仍然必须保留的机制。若我们已经把自由能写成

\[ f = L^{-d}\tilde f_{\rm GF}(tL^2,hL^{(d+2)/2}) + L^{-d}\tilde f_{\rm CG}(tL^{d/2},hL^{3d/4}), \]

那么做实际数据分析时可以直接使用 GFP/CG 两扇区，而不必每一步都重新提 \(u\) 的 dangerous irrelevant 性。但从理论来源看，\(\phi^4\) 中的 CG 零模项正是因为 \(u\) 虽然 irrelevant，却不能在零模自由能中设为零。

从四次项到一般高次项

下面把 \(\phi^4\) 推广到 \(\phi^p\)。

考虑更一般的相互作用：

\[ \mathcal H[\phi] =\int d^d x \left[ \frac12(\nabla\phi)^2 +\frac{t}{2}\phi^2 +g_p\phi^p -h\phi \right]. \]

在 Gaussian 固定点，

\[ x_\phi=\frac{d-2}{2}. \]

因此 \(\phi^p\) 耦合的 RG 指数为

\[ y_p=d-px_\phi. \]

代入 \(x_\phi\) 得到

\[ y_p=d-\frac{p(d-2)}2. \]

上临界维度由 \(y_p=0\) 决定：

\[ d-\frac{p(d-2)}2=0. \]

解得

\[ \boxed{d_c(p)=\frac{2p}{p-2}}. \]

几个例子为：

相互作用	上临界维度
\(\phi^3\)	\(d_c=6\)
\(\phi^4\)	\(d_c=4\)
\(\phi^6\)	\(d_c=3\)

这里 \(\phi^4\) 对应普通 Ising 或 \(O(n)\) 临界点；\(\phi^6\) 常出现在三临界点，因为此时 \(\phi^4\) 项也需要被调到零；\(\phi^3\) 常出现在缺少 \(\phi\to-\phi\) 对称性的理论中。

对应的 Landau 平均场指数也可以直接求。若

\[ F(m)=L^d\left[ \frac{t}{2}m^2+g_pm^p-hm \right], \]

极值方程为

\[ tm+pg_pm^{p-1}-h=0. \]

当 \(h=0,t<0\) 时，

\[ m^{p-2}\sim -t, \]

所以

\[ \boxed{\beta=\frac1{p-2}}. \]

在 \(t=0\) 时，

\[ h\sim m^{p-1}, \]

因此

\[ \boxed{\delta=p-1}. \]

磁化率仍满足

\[ \boxed{\gamma=1}. \]

自由能奇异部分满足

\[ f_s\sim \lvert t\rvert^{p/(p-2)}. \]

于是

\[ \boxed{\alpha=2-\frac{p}{p-2}=\frac{p-4}{p-2}}. \]

例如 \(p=4\) 给出普通平均场指数；\(p=6\) 给出三临界平均场指数：

\[ \alpha=\frac12,\qquad \beta=\frac14,\qquad \gamma=1,\qquad \delta=5. \]

从短程梯度到长程动量核

下面把 \(k^2\) 推广到 \(k^\sigma\)，对应长程情况。

短程体系的 Gaussian 涨落项在动量空间中为

\[ k^2|\phi_k|^2. \]

对于长程相互作用，低动量行为常写为

\[ k^\sigma|\phi_k|^2. \]

对应的实空间形式可记为分数 Laplacian：

\[ \frac12\int d^d x\, \phi(x)(-\nabla^2)^{\sigma/2}\phi(x). \]

此时 Gaussian 泛函为

\[ \mathcal H_G =\int d^d x \left[ \frac12\phi(-\nabla^2)^{\sigma/2}\phi +\frac{t}{2}\phi^2 -h\phi \right]. \]

量纲分析从长程动能项开始：

\[ \int d^d x\,\phi(-\nabla^2)^{\sigma/2}\phi\sim 1. \]

由于

\[ (-\nabla^2)^{\sigma/2}\sim L^{-\sigma}, \]

有

\[ L^d[\phi]^2L^{-\sigma}\sim 1. \]

所以

\[ [\phi]\sim L^{-(d-\sigma)/2}, \]

即

\[ \boxed{x_\phi=\frac{d-\sigma}{2}}. \]

质量项给出

\[ \boxed{y_t=\sigma}. \]

外场项给出

\[ \boxed{y_h=\frac{d+\sigma}{2}}. \]

四次项的指数为

\[ \begin{aligned} y_u &=d-4x_\phi\\ &=d-2(d-\sigma)\\ &=2\sigma-d. \end{aligned} \]

因此长程 \(\phi^4\) 理论的上临界维度为

\[ \boxed{d_c=2\sigma}. \]

更一般地，长程 \(\phi^p\) 理论满足

\[ y_p=d-p\frac{d-\sigma}{2}. \]

令 \(y_p=0\)，得到

\[ \boxed{d_c(p,\sigma)=\frac{p\sigma}{p-2}}. \]

当 \(\sigma=2\) 时，回到短程结果：

\[ d_c(p)=\frac{2p}{p-2}. \]

长程 Gaussian 传播子满足

\[ G(k)\sim \frac1{k^\sigma}. \]

而一般临界理论中

\[ G(k)\sim \frac1{k^{2-\eta}}. \]

因此长程 Gaussian 区域中

\[ \boxed{\eta=2-\sigma}. \]

长程模型还存在长程固定点与短程固定点之间的 crossover。简单量纲分析给出边界 \(\sigma=2\)，更精细的 Sak 判据会把边界修正为 \(\sigma_\ast=2-\eta_{\rm SR}\)。

Wilson RG 的理论深化

Landau 与 Ginzburg 的构造给出了有效场论。Wilson RG 进一步说明这些有效理论为什么具有普适性，以及为什么低维涨落会改变平均场指数。

从 LGW 泛函出发：

\[ \mathcal H[\phi] =\int d^d x \left[ \frac12(\nabla\phi)^2 +\frac{t}{2}\phi^2 +\frac{u}{4!}\phi^4 -h\phi +\cdots \right]. \]

Wilson RG 的基本步骤如下。

第一步，将场分成慢模和快模：

\[ \phi=\phi_<+\phi_>, \]

其中

\[ \phi_<:\ |k|<\Lambda/b, \qquad \phi_>:\ \Lambda/b<|k|<\Lambda. \]

第二步，积分掉快模：

\[ e^{-\mathcal H_{\rm eff}[\phi_<]} =\int D\phi_>\, e^{-\mathcal H[\phi_<+\phi_>]}. \]

第三步，重新缩放动量、坐标和场：

\[ k'=bk,\qquad x'=x/b, \]

\[ \phi'(x')=b^{x_\phi}\phi(x). \]

这里采用的是被动坐标写法：短波快模已经被积分掉，剩下的慢模满足 \(|k|<\Lambda/b\)。为了把截止重新放回 \(\Lambda\)，动量要放大

\[ k'=bk. \]

动量和长度互为倒数，所以坐标同时写成

\[ x'=\frac{x}{b}. \]

若把 \(x=bx'\) 代回场，就得到更完整的写法：

\[ \phi'(x')=b^{x_\phi}\phi(bx'). \]

其中 \(x_\phi\) 是场的 scaling dimension。空间坐标重新计量之后，场也要重新缩放，才能让梯度项、二点函数或传播子的规范化保持在约定形式下。

完成这些步骤后，耦合常数会发生流动：

\[ t\to t',\qquad h\to h',\qquad u\to u'. \]

固定点满足耦合在尺度变换下保持不变。固定点附近可以线性化：

\[ t'=b^{y_t}t,\qquad h'=b^{y_h}h,\qquad u'=b^{y_u}u. \]

若 \(y>0\)，该扰动为 relevant；若 \(y<0\)，该扰动为 irrelevant；若 \(y=0\)，该扰动为 marginal，需要更高阶分析。

Gaussian 固定点为

\[ u^\ast=0. \]

在短程 \(\phi^4\) 理论中，

\[ y_t=2,\qquad y_h=\frac{d+2}{2},\qquad y_u=4-d. \]

因此：

• \(d>4\) 时，\(u\) 在长距离下衰减，平均场指数成立；
• \(d=4\) 时，\(u\) 为边缘变量，出现对数修正；
• \(d<4\) 时，\(u\) 增长，Gaussian 固定点不稳定。

当 \(d<4\) 时，体系会流向 Wilson-Fisher 固定点：

\[ u^\ast\neq 0. \]

在这个固定点，临界指数包含涨落修正。例如三维 Ising 普适类中，

\[ \nu\approx 0.630,\qquad \eta\approx 0.036. \]

于是

\[ y_t=\frac1\nu\approx 1.587, \]

\[ y_h=\frac{d+2-\eta}{2}\approx 2.482. \]

这说明量纲分析能准确给出 Gaussian 固定点附近的指数和上临界维度；若体系流向相互作用固定点，真实指数需要 Wilson RG、\(\epsilon\) 展开、Monte Carlo 或 bootstrap 等方法来确定。

总结

从最简单的 Landau 零模理论开始，可以得到平均场指数

\[ \alpha=0,\qquad \beta=\frac12,\qquad \gamma=1,\qquad \delta=3. \]

在零模有限尺寸意义下，临界涨落给出

\[ \boxed{y_t^\ast=\frac d2,\qquad y_h^\ast=\frac{3d}{4}}. \]

加入 Ginzburg 梯度项后，Gaussian 固定点的量纲分析给出

\[ \boxed{y_t=2,\qquad y_h=\frac{d+2}{2},\qquad y_u=4-d}. \]

短程 \(\phi^4\) 理论的上临界维度为

\[ \boxed{d_c=4}. \]

若相互作用推广为 \(\phi^p\)，则

\[ \boxed{d_c(p)=\frac{2p}{p-2}}. \]

若涨落项从 \(k^2\) 推广为 \(k^\sigma\)，则

\[ \boxed{y_t=\sigma,\qquad y_h=\frac{d+\sigma}{2},\qquad d_c=2\sigma}. \]

更一般地，

\[ \boxed{d_c(p,\sigma)=\frac{p\sigma}{p-2}}. \]

最后，\(y_t,y_h\) 与六个常见临界指数之间的关系为

\[ \boxed{ \nu=\frac1{y_t},\quad \alpha=2-\frac d{y_t},\quad \beta=\frac{d-y_h}{y_t},\quad \gamma=\frac{2y_h-d}{y_t},\quad \delta=\frac{y_h}{d-y_h},\quad \eta=d+2-2y_h }. \]

这些公式把 Landau 平均场、Ginzburg 涨落、Wilson RG 和有限尺寸标度连接在一起。实际使用时，需要先判断体系对应的固定点，再决定使用 Gaussian 指数、平均场指数，或带有涨落修正的非平庸指数。