长程体系定义和困难

短程格子模型中，周期边界条件通常只是减少边界效应的一种技术。长程相互作用不同：一个格点和许多远处格点直接耦合，因此“距离怎么定义、镜像怎么求和、是否归一化、能量是否可加”都会进入模型定义本身。

本节先讨论这些定义层和工程层问题。临界指数和普适类的场论解释放在“长程相互作用与普适类”中。

幂律相互作用

常见长程 \(O(N)\) 自旋模型可写为

\[ H = -\sum_{i<j} J_{ij}\mathbf S_i\cdot\mathbf S_j, \qquad J_{ij}\sim \frac{1}{r_{ij}^{\alpha}}. \]

在 \(d\) 维中，远距离壳层的格点数约为 \(r^{d-1}\)，所以尾部求和按

\[ \int^\infty dr\,r^{d-1-\alpha} \]

判断收敛性。若

\[ \alpha\le d, \]

总相互作用强度发散；若 \(\alpha>d\)，尾部在热力学极限中可求和。为了把这件事写得清楚，长程临界现象中常用

\[ \alpha=d+\sigma, \qquad \sigma>0. \]

\(\sigma\) 越小，长程尾部越强；\(\sigma\) 很大时，模型逐渐接近短程相互作用。

这里的“长程”有两层含义。第一层是工程含义：一个格点要和很多远处格点相互作用，计算量从最近邻模型的 \(O(N)\) 变成朴素的 \(O(N^2)\)。第二层是物理含义：远距离尾部在 RG 下可能改变临界行为，使体系不再属于短程普适类。两者相关但不完全相同。某些相互作用在程序上已经很麻烦，但在临界指数上最终仍流向短程固定点；另一些则会真正改变普适类。

可加性与 Kac 归一化

当 \(\alpha\le d\) 时，每个自由度感受到的总耦合随系统尺寸增长，能量通常不再按 \(N\) 标度。这称为不可加性。即使 \(\alpha>d\)，有限系统中长程尾部也可能带来很强的尺寸修正。

一种常用处理是 Kac 归一化：

\[ J_{ij} \to \frac{J_{ij}}{\mathcal N_L}, \qquad \mathcal N_L = \frac1N\sum_i\sum_{j\ne i}J_{ij}. \]

这样每个格点看到的总耦合强度保持为 \(O(1)\)。它适合研究平均场极限或需要热力学量可加的设定，但也会改变有限尺寸标度的呈现方式。因此论文或程序说明中应明确写出是否使用 Kac 归一化。

可以用完全图铁磁体作极端例子。若每一对自旋都有同样耦合 \(J\)，则总能量含有 \(N(N-1)/2\) 个 pair，能量自然按 \(N^2\) 增长。若希望能量密度保持有限，就常写成

\[ H=-\frac{J}{N}\sum_{i<j}s_is_j. \]

这里的 \(1/N\) 就是 Kac scaling 的最简单版本。它不只是数值技巧，而是在定义一个具有良好热力学极限的模型。对幂律长程相互作用也是类似：归一化方式会影响有限尺寸系统如何接近热力学极限。

周期边界下的距离

长程模型在周期边界下至少有两种常见定义。

第一种是最小镜像距离：

\[ r_{ij} = \min_{\mathbf n\in\mathbb Z^d} |\mathbf r_i-\mathbf r_j+\mathbf n L|. \]

它实现简单，每个格点只和同一个有限盒子里的其他 \(N-1\) 个格点相互作用。优点是计算清楚、容易避免自相互作用；缺点是相互作用在盒子尺度附近被人为截断。

第二种是周期镜像求和：

\[ J_{ij}^{\rm PBC} = \sum_{\mathbf n\in\mathbb Z^d} \frac{1}{ |\mathbf r_i-\mathbf r_j+\mathbf nL|^{d+\sigma} }. \]

它更接近无限周期复制体系，但计算更贵，也必须小心排除 \(i=j,\mathbf n=0\) 的自相互作用。对衰减慢的势，直接求和收敛很差，常需要 Ewald 类分解。

这两种定义在热力学极限下可能属于同一长距离类别，但有限尺寸数据可以明显不同。做有限尺寸标度时，应把距离定义视为模型规范的一部分，而不是无关实现细节。

读数值结果时，一个常见问题是“为什么同样的 \(\sigma\)，不同文章的临界点或交点漂移不太一样”。原因之一就是 PBC 定义不同。最小镜像相当于只在有限 torus 上定义 pair；镜像求和则把无限多个周期复制都算进有效耦合。二者都会保留平移对称性，但远距离壳层的权重不同，尤其在小系统和小 \(\sigma\) 时差异更明显。

Torus 最短路径归一化定义

在我们近期使用的一类二维长程 \(O(n)\) 模型中，采用的是更具体的 torus 最短路径定义。系统放在 \(L\times L\) 的周期方格上，也就是二维 torus \(\mathbb T^2\)。哈密顿量写成

\[ \mathcal H = - \sum_{i<j} \frac{c(\sigma,L)}{r_{ij}^{2+\sigma}} \mathbf S_i\cdot\mathbf S_j. \]

这里 \(r_{ij}\) 是 torus 表面上的最短路径距离，也就是 minimum-image convention：

\[ r_{ij} = \left[ \sum_{\mu=1}^2 \min(|x_{i,\mu}-x_{j,\mu}|,L-|x_{i,\mu}-x_{j,\mu}|)^2 \right]^{1/2}. \]

求和保留所有物理格点对：

\[ i<j, \qquad \text{pair 数}=\frac{N(N-1)}2. \]

没有再把无限周期镜像逐个加入。有限尺寸效应通过归一化常数

\[ c(\sigma,L) \]

来控制。二维方格最近邻配位数为 \(4\)，因此可以选

\[ \sum_{j\ne i} \frac{c(\sigma,L)}{r_{ij}^{2+\sigma}} =4. \]

由于 torus 定义保持平移对称性，右边对任意格点 \(i\) 都相同。更一般地，在 \(d\) 维超立方格子上，可以把右边换成最近邻配位数

\[ z=2d. \]

这个归一化有两个实际作用。

第一，它让模型在 \(\sigma\to\infty\) 时平滑接近最近邻模型。远距离耦合消失，最近邻壳层承载主要权重。

第二，它让 \(\sigma\) 很小时逐渐接近 complete-graph 型平均场极限，但每个格点看到的总耦合仍保持 \(O(1)\)。这样临界温度和有限尺寸数据不会因为总耦合强度随 \(L\) 漂移而变得难比较。

需要强调，这种定义不是“最小镜像距离”四个字就能完全说明。完整模型规范至少包括：

• 距离采用 torus shortest path。
• 只保留 \(N(N-1)/2\) 个物理 pair。
• 使用 \(c(\sigma,L)\) 归一化总耦合。
• 不额外加入无限周期镜像求和。

在某些 \(\sigma\) 区间，这种归一化定义和 Ewald 类周期求和在热力学极限中可能给出相同长距离物理；但有限尺寸交点、临界温度和修正项可以不同。因此写模拟参数时，最好把这套定义完整列出。

arXiv:2512.04805 使用的正是这类二维长程模型语境：相互作用按 \(1/r^{2+\sigma}\) 衰减，重点不只是临界指数本身，还包括如何在有限 torus 上定义距离、归一化总耦合，并用 FK 几何量和 Binder ratio 等无量纲量比较长程到短程的 crossover。算法层面的结论是：长程算法不能脱离模型定义来讲。若 pair 列表、距离规范或归一化改变了，后面的 Clock、cluster 或 Metropolis 加速即使各自满足 detailed balance，采样的也已经是另一个有限尺寸模型。

因此，长程模拟至少要区分三层对象：

层次	需要固定的内容	改变后的影响
模型定义	距离、pair 列表、归一化、是否加镜像	改变有限尺寸哈密顿量和临界点漂移
更新算法	Metropolis、cluster、Clock、Fukui-Todo、predecision	改变 Markov chain 的动力学和计算复杂度
标度分析	使用 \(L\)、\(R\)、FK wrapping、Binder ratio 或 \(\eta\)	改变 crossover 判据和外推方式

只有第一层固定后，第二层的“算法等价性”才有明确含义。例如 Fukui-Todo 算法等价于完整长程 Swendsen-Wang 动力学，predecision 和 hierarchical adaptive 方法等价于标准 Metropolis 链，这些说法都默认哈密顿量中的 \(J_{ij}\) 和 pair 顺序已经确定。

奇偶边长与均匀性

在周期格子上，最远距离壳层可能因为 \(L\) 的奇偶不同而有不同简并度。特别是偶数 \(L\) 时，半盒长方向上的点与自身镜像关系更微妙。若用最小镜像规则构造所有 \(i<j\) 的 bond，需要保证：

• 每个格点拥有完全相同的相互作用环境。
• 每对物理格点只计数一次。
• 不把格点和自己的周期镜像当成额外相互作用。
• 对称性相关的方向使用一致权重。

这些问题在短程最近邻模型中几乎不会出现，但在长程全连接 bond 列表中很容易造成小的各向异性或 double counting。

一个实用检查是对每个格点计算

\[ J_i^{\rm tot}=\sum_{j\ne i}J_{ij}. \]

若周期距离和 pair 列表写得正确，所有 \(J_i^{\rm tot}\) 应完全相同，至少在浮点误差范围内相同。还可以分别统计不同方向或不同距离壳层的简并度，检查偶数 \(L\) 的半盒长方向有没有被重复计数。

Ewald 类分解

对于周期镜像求和，Ewald 思想是把慢收敛的势分成实空间短程部分和动量空间短程部分：

\[ J^{\rm PBC}(\mathbf r) = J_{\rm real}(\mathbf r;\kappa) +J_{\rm recip}(\mathbf r;\kappa). \]

\(\kappa\) 是分割参数。实空间项在距离上快速衰减，倒空间项在 \(k\) 空间快速衰减，两边加起来不依赖 \(\kappa\)。对 \(1/r^{d+\sigma}\) 这类幂律势，可以借助积分表示把幂律写成 Gaussian 核的积分，再进行类似分解。

Ewald 方法的优点是定义接近无限周期体系，误差可控；缺点是实现复杂，且某些 \(\sigma\) 区间会有额外的收敛和正则化细节。若研究目标主要是算法或普适类，最小镜像加清楚的有限尺寸分析有时反而更透明。

因此 Ewald 不是“总是更高级”的选项。它适合那些确实想模拟无限周期复制势、并且需要精确控制尾部求和的情形。若目标是比较不同算法或做教学程序，先使用最小镜像定义通常更容易定位错误。关键不是选择哪一个，而是把选择写清楚，并在有限尺寸分析中保持一致。

长程 cluster 加键

在 Swendsen-Wang 或 Wolff 类型算法中，若每一对格点都有铁磁耦合，则理论上所有 \(i<j\) 都可能加 bond。以 Ising 型相互作用为例，bond 概率为

\[ p_{ij} = 1-e^{-2\beta J_{ij}}. \]

若直接遍历所有 pair，一次 sweep 的成本是

\[ O(N^2). \]

这正是长程 Monte Carlo 的主要困难之一。常见加速思路包括：

• 对小概率远距离 bond 做累计表或 alias 抽样。
• 使用 Luijten-Blote 类型的跳跃抽样，跳过大量未占据 bond。
• 对相互作用做分层、截断或随机截断，并用正确权重补偿。
• 在规则格子上利用 FFT 或卷积结构加速能量差计算。

无论使用哪种加速，都要回到 detailed balance 或 global balance 检查，并确认实际采样的是原始长程模型，而不是某个无意中被截断的近似模型。

长程 cluster 的难点还在于“远处 bond 很多但单条概率很小”。逐条检查会浪费大量时间在“没有加键”的事件上。Luijten-Blote 和 Clock 类方法的共同思想，是直接抽样下一条可能发生的远距离事件，从而跳过连续的一串空事件。这样可以把访问构型的次数降到真正可能改变构型的候选事件附近。

系综不等价

短程可加系统中，微正则系综和正则系综通常在热力学极限下等价。长程不可加系统可能不满足这个直觉。一个常见判据是微正则熵

\[ S(E) \]

是否为凹函数。若出现非凹区间，正则系综的 Legendre 变换会跳过部分能量区间，从而产生负比热、相共存异常或系综不等价等现象。

Kac 归一化可以把能量重新调成 \(O(N)\)，但不自动保证熵函数恢复普通短程系统的凹性。因此在强长程或平均场型模型中，选择正则 Monte Carlo、微正则方法或其他采样系综时，需要先弄清楚研究的问题依赖哪个系综。

因此，正则系综模拟得到的相图不应自动等同于所有热力学描述下的相图。大多数格点 Monte Carlo 使用固定温度的正则系综，这对短程可加系统通常没有问题；但若研究引力型、完全图型或强长程不可加模型，系综选择本身就可能成为物理问题的一部分。

实作检查清单

长程模型的结果对定义很敏感。记录模拟设置时，建议至少说明：

• 相互作用形式：\(\alpha\) 或 \(\sigma\)，是否有截断。
• 周期边界定义：最小镜像还是周期镜像求和。
• 是否使用 Kac 归一化。
• bond 或能量计算是否排除自相互作用和 double counting。
• 长程加速算法是否保持目标分布。
• 有限尺寸分析是否考虑奇偶 \(L\)、尾部修正和对数修正。

这些信息决定了别人能否复现实验，也决定了有限尺寸外推是否可以和理论普适类直接比较。