数据处理与误差估计¶

Monte Carlo 的输出不是普通确定性程序的输出。每个观测量都带有统计误差，而且相邻样本通常相关。因此数据处理不能只做简单平均，还要判断热化、相关性、误差棒和不同随机种子的合并方式。

一个常见流程是：

\[ {\rm raw\ data} \rightarrow {\rm thermalization\ cut} \rightarrow {\rm blocking} \rightarrow {\rm average/error} \rightarrow {\rm fit/collapse} \rightarrow {\rm plot}. \]

热化¶

Markov chain 通常不是从平衡分布开始的。前面一段样本主要反映初始构型，而不是目标分布，需要丢掉。这段过程称为热化。

如果观测量序列为

\[ O_1,O_2,\cdots,O_N, \]

热化后只使用

\[ O_{N_{\rm therm}+1},\cdots,O_N. \]

判断热化可以看几个信号：

不同初始构型的观测量是否收敛到同一区间。
能量、磁化率等慢变量是否已经没有系统漂移。
增加热化步数后，最终平均值是否在误差范围内稳定。

临界点附近自关联时间会变长，热化步数也要相应增加。

样本平均与简单误差¶

若样本近似独立，均值估计为

\[ \bar O=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N O_i, \]

误差估计为

\[ {\rm Err}(O)= \sqrt{\frac{1}{N(N-1)}\sum_{i=1}^N(O_i-\bar O)^2}. \]

但 Monte Carlo 样本通常来自同一条 Markov chain，相邻样本存在相关性。此时上式会低估误差。

自关联时间¶

定义归一化自关联函数

\[ C(t)= \frac{\langle (O_i-\bar O)(O_{i+t}-\bar O)\rangle} {\langle (O_i-\bar O)^2\rangle}. \]

积分自关联时间可写为

\[ \tau_{\rm int} = \frac{1}{2}+\sum_{t=1}^{\infty}C(t). \]

有效独立样本数大约是

\[ N_{\rm eff}\sim \frac{N}{2\tau_{\rm int}}. \]

这说明采样次数 \(N\) 很大并不自动代表误差很小。如果更新算法移动很慢，样本之间高度相关，真正有效的样本数会少很多。

Blocking¶

blocking 是处理相关样本的实用方法。把样本按连续区间分成大小为 \(B\) 的 block：

\[ \bar O_k^{(B)} = \frac{1}{B}\sum_{i=(k-1)B+1}^{kB}O_i. \]

然后把这些 block average 当作新的样本来估计误差。随着 \(B\) 增大，block 之间的相关性降低，误差估计会逐渐进入平台。这个平台值通常比逐点误差更可信。

实际使用中可以画出误差随 block size 的变化。如果误差没有平台，说明样本长度可能还不够。

多随机种子合并¶

实际模拟常用多个随机种子并行计算。假设第 \(i\) 组数据给出平均值 \(Q_i\) 和误差 \(E_i\)。如果各组统计独立，可以用反方差加权平均：

\[ Q_{\rm new} = \frac{\sum_i Q_i/E_i^2}{\sum_i 1/E_i^2}, \qquad E_{\rm new} = \frac{1}{\sqrt{\sum_i 1/E_i^2}}. \]

同时可以检查一致性：

\[ \chi^2 = \sum_i\frac{(Q_i-Q_{\rm new})^2}{E_i^2}. \]

如果 \(\chi^2\) 明显异常，通常说明某些随机种子没有充分热化、误差被低估，或者程序参数并不完全一致。

Reweighting¶

如果模拟在参数 \(K_0\) 下采样，而目标是附近的 \(K\)，可以使用 reweighting。设构型能量相关量为 \(E(s)\)，权重变化为

\[ \frac{W_K(s)}{W_{K_0}(s)} = e^{-(K-K_0)E(s)}. \]

则观测量可估计为

\[ \langle O\rangle_K = \frac{ \langle O(s)e^{-(K-K_0)E(s)}\rangle_{K_0} }{ \langle e^{-(K-K_0)E(s)}\rangle_{K_0} }. \]

reweighting 的有效范围取决于两个分布的重叠程度。离采样点太远时，估计会被少数样本支配，误差迅速变差。

拟合与画图¶

Monte Carlo 数据最终通常用于拟合临界点、临界指数或有限尺寸标度函数。拟合前要确认三件事：

误差棒是否包含自关联和多随机种子合并的不确定性。
不同系统尺寸、参数点的采样质量是否相近。
拟合区间是否避开明显的有限尺寸修正或非渐近区域。

图像展示时，平均值和误差棒同样重要。没有误差棒的 Monte Carlo 图通常不能支持定量结论。