零温辅助场蒙卡¶

零温 AFQMC 研究的是基态性质。它不直接计算

\[ Z={\rm Tr}\,e^{-\beta \hat H}, \]

而是利用虚时投影：

\[ |\Psi_0\rangle \propto \lim_{\Theta\to\infty} e^{-\Theta\hat H} |\Psi_T\rangle. \]

这里 \(|\Psi_T\rangle\) 是试探波函数，只要它和真实基态 \(|\Psi_0\rangle\) 有非零重叠，足够长的虚时投影就会压低激发态成分。若

\[ |\Psi_T\rangle = \sum_n a_n|\Psi_n\rangle, \]

则

\[ e^{-\Theta \hat H}|\Psi_T\rangle = \sum_n a_n e^{-\Theta E_n}|\Psi_n\rangle. \]

当 \(\Theta\) 足够大时，最低能态保留下来。这个图像非常像有限温中的 \(\beta\to\infty\) 极限，但零温算法保留了试探态边界，因此在实现和测量上有自己的结构。

投影形式¶

基态期望值写为

\[ \langle O\rangle = \frac{ \langle \Psi_T| e^{-\Theta\hat H} O e^{-\Theta\hat H} |\Psi_T\rangle }{ \langle \Psi_T| e^{-2\Theta\hat H} |\Psi_T\rangle }. \]

把总投影长度 \(2\Theta\) 切成 \(L_\tau\) 片：

\[ \Delta\tau=\frac{2\Theta}{L_\tau}. \]

与有限温类似，做 Trotter 分解：

\[ e^{-\Delta\tau\hat H} \simeq e^{-\Delta\tau\hat K} e^{-\Delta\tau\hat V}. \]

再对每个虚时切片做 Hubbard-Stratonovich 变换，得到辅助场构型

\[ s=\{s_{i,\ell}\}. \]

给定辅助场后，自旋 \(\sigma\) 的单粒子传播矩阵仍写为

\[ B_\ell^\sigma(s_\ell) = e^{-\Delta\tau K}e^{V_\ell^\sigma(s_\ell)}. \]

Slater Determinant 边界¶

零温 AFQMC 通常选取 Slater determinant 作为试探波函数：

\[ |\Psi_T^\sigma\rangle = \prod_{m=1}^{N_\sigma} \left( \sum_i P^\sigma_{im}\hat c^\dagger_{i\sigma} \right) |0\rangle. \]

矩阵 \(P^\sigma\) 的大小为

\[ N_s\times N_\sigma, \]

其中 \(N_s\) 是空间格点数，\(N_\sigma\) 是该自旋方向的粒子数。二次型传播作用在 Slater determinant 上仍然得到 Slater determinant，因此给定辅助场后，整个振幅可以写成有限维行列式。

记

\[ \mathcal B^\sigma(s) = B_{L_\tau}^\sigma \cdots B_2^\sigma B_1^\sigma. \]

则构型权重为

\[ \boxed{ W(s)= \prod_\sigma \det \left[ (P^\sigma)^\dagger \mathcal B^\sigma(s) P^\sigma \right]. } \]

有限温算法中出现的是 \(I+\prod B\)；零温算法中出现的是试探态矩阵夹住的传播子。这是两类算法最直观的差别。

左右传播子¶

为了测量位于虚时中间的观测量，通常把传播分成左、右两半。若观测量插在第 \(\ell\) 层附近，可定义

\[ R_\ell^\sigma = B_\ell^\sigma B_{\ell-1}^\sigma \cdots B_1^\sigma P^\sigma, \]

以及

\[ L_\ell^\sigma = \left[ B_{L_\tau}^\sigma \cdots B_{\ell+1}^\sigma \right]^\dagger P^\sigma. \]

这里 \(R_\ell^\sigma\) 和 \(L_\ell^\sigma\) 都是 \(N_s\times N_\sigma\) 矩阵。构型权重可以写成

\[ W_\sigma(s) = \det \left[ (L_\ell^\sigma)^\dagger R_\ell^\sigma \right]. \]

这种左右夹逼结构说明：零温算法中的测量最好放在投影中间。越靠近边界，结果越容易受到试探波函数影响；投影长度足够大时，中间区域才代表基态。

Equal-Time Green 函数¶

给定左右 Slater determinant 后，equal-time Green 函数可写为

\[ G^\sigma_{ij} = \langle \hat c_{i\sigma} \hat c_{j\sigma}^\dagger \rangle_s. \]

若定义

\[ S^\sigma=(L^\sigma)^\dagger R^\sigma, \]

则一个常用表达是

\[ \boxed{ G^\sigma = I - R^\sigma (S^\sigma)^{-1} (L^\sigma)^\dagger . } \]

因此密度为

\[ \langle \hat n_{i\sigma}\rangle_s = 1-G^\sigma_{ii}. \]

二体观测量通过 Wick 定理化为 Green 函数组合。例如

\[ \langle \hat n_{i\sigma}\hat n_{j\sigma'} \rangle_s \]

在 \(\sigma=\sigma'\) 和 \(\sigma\ne\sigma'\) 时有不同的收缩形式，指标顺序需要与 Green 函数定义保持一致。

局域更新¶

一次常见更新是翻转某个时空点的辅助场：

\[ s_{i,\ell}\to -s_{i,\ell}. \]

这只改变第 \(\ell\) 层的对角矩阵 \(V_\ell^\sigma\)。因此新旧传播矩阵之间的差别是局域的，可以写成

\[ B_\ell^{\sigma\,\prime} = (I+\Delta^\sigma)B_\ell^\sigma, \]

其中 \(\Delta^\sigma\) 只有第 \(i\) 个对角元非零。行列式比可以用当前 Green 函数快速计算，形式上可写为

\[ r_\sigma = 1+ (1-G^\sigma_{ii})\Delta^\sigma_{ii}. \]

总接受率为

\[ P_{\rm acc} = \min\left[ 1, \prod_\sigma r_\sigma \right]. \]

若更新被接受，Green 函数可以用 rank-one 公式更新，而不用从头构造左右传播子。实际代码会在连续多次局域更新后，周期性地重新计算 Green 函数以控制舍入误差。

数值稳定化¶

虚时传播矩阵连乘是零温 AFQMC 中最容易出问题的地方。矩阵

\[ B_mB_{m-1}\cdots B_1 \]

会同时包含指数放大的方向和指数衰减的方向。随着 \(\Theta\) 增大，直接相乘会丢失线性独立性。

常用处理方式是每隔若干层做一次分解：

\[ B_{\ell+p}\cdots B_{\ell+1}Q = Q'R \]

或使用 SVD：

\[ UDV. \]

其中 \(D\) 存储尺度，\(U,V\) 存储方向。这类分解把“大数小数”和“方向信息”分开保存，避免一个矩阵乘积吞掉全部精度。

投影长度与试探态¶

零温算法有两个重要外推：

投影长度外推：增大 \(\Theta\)，检查观测量是否达到平台。
Trotter 外推：减小 \(\Delta\tau\)，检查离散虚时误差。

试探态选择会影响收敛速度。常见选择包括：

自由费米子基态。
平均场基态。
带有轻微对称性破缺的 Slater determinant。

只要试探态与目标基态重叠非零，足够长的投影可以消除边界影响。较好的试探态能显著减少所需投影长度。

零温算法流程¶

零温 AFQMC 的典型流程为：

构造试探态矩阵 \(P^\sigma\)。
初始化辅助场 \(s_{i,\ell}\)。
维护左右传播子和 Green 函数。
逐层翻转辅助场并用行列式比接受或拒绝。
定期重算 Green 函数并做 QR/SVD 稳定化。
在投影中心附近测量能量、密度、关联函数。
对投影长度、Trotter 步长和统计误差做检查。

零温 AFQMC 的优点是可以直接接近基态；代价是需要控制试探态边界、投影长度和矩阵稳定化。理解左右 Slater determinant 的结构，是理解这一算法的关键。