BKT 相变

Berezinskii-Kosterlitz-Thouless 相变是二维连续对称性体系中最特别的一类相变。它和普通 Landau 相变不同：低温相没有真正的长程序，但有代数衰减的准长程序；高温相是指数衰减的无序相；两者之间的转变由拓扑缺陷，也就是 vortex 的束缚与解束缚控制。

最典型的例子是二维 XY 模型：

\[ H=-J\sum_{\langle ij\rangle} \cos(\theta_i-\theta_j), \]

其中

\[ \mathbf S_i=(\cos\theta_i,\sin\theta_i). \]

它具有全局 \(U(1)\) 连续对称性：

\[ \theta_i\to \theta_i+\alpha. \]

根据 Mermin-Wagner 定理，二维 XY 模型在有限温不能有真正的

\[ \langle e^{i\theta}\rangle\ne0. \]

但这不意味着它只能有普通无序相。二维 XY 模型低温下可以有准长程序。

先看物理直觉

低温时，相邻角度差较小，可以写成 spin-wave 理论：

\[ H_{\rm sw} = \frac{\rho_s}{2} \int d^2x\,(\nabla\theta)^2. \]

这个高斯理论给出关联函数

\[ G(r) = \left\langle e^{i[\theta(r)-\theta(0)]} \right\rangle \sim r^{-\eta}. \]

其中

\[ \eta=\frac{T}{2\pi\rho_s}. \]

这说明低温相具有代数长程序，而非真正的常数长程序。代数衰减比指数衰减慢得多，因此仍然代表一种临界相。

二维 XY 模型还有一个 spin-wave 理论看不到的自由度：vortex。绕着 vortex 走一圈，角度变化为

\[ \oint \nabla\theta\cdot d\mathbf l = 2\pi q, \]

其中

\[ q\in\mathbb Z \]

是 vortex charge。\(q=1\) 是 vortex，\(q=-1\) 是 antivortex。

低温下，vortex 和 antivortex 倾向于成对束缚；高温下，vortex 对可以解束缚，形成自由 vortex 气体。BKT 相变就是 vortex pair unbinding transition。

单个 vortex 的能量和熵

考虑一个位于原点、charge 为 \(q\) 的 vortex。远离核心时，

\[ \theta(\mathbf r)=q\varphi, \]

于是

\[ |\nabla\theta|=\frac{|q|}{r}. \]

代入 spin-wave 能量：

\[ E_v = \frac{\rho_s}{2} \int_a^L d^2x\,(\nabla\theta)^2. \]

使用极坐标：

\[ \begin{aligned} E_v &= \frac{\rho_s}{2} \int_a^L r\,dr \int_0^{2\pi}d\varphi \frac{q^2}{r^2}\\ &= \pi\rho_s q^2 \ln\frac{L}{a}. \end{aligned} \]

这里 \(a\) 是 vortex core 尺度，\(L\) 是系统尺寸。单个 vortex 的能量随系统尺寸对数发散。

但 vortex 可以放在系统中很多位置。位置数约为

\[ \left(\frac{L}{a}\right)^2, \]

所以熵为

\[ S_v \simeq 2\ln\frac{L}{a}. \]

自由能为

\[ F_v = E_v-TS_v = \left(\pi\rho_s q^2-2T\right) \ln\frac{L}{a}. \]

对最小 vortex \(q=\pm1\)：

\[ F_v = \left(\pi\rho_s-2T\right) \ln\frac{L}{a}. \]

若

\[ T<\frac{\pi\rho_s}{2}, \]

单个自由 vortex 的自由能随 \(L\) 增大而变大，自由 vortex 被抑制。若

\[ T>\frac{\pi\rho_s}{2}, \]

熵占优，自由 vortex 会大量出现。

这个简单能熵竞争给出 BKT 相变的核心直觉：

\[ \boxed{ T_{\rm BKT} \simeq \frac{\pi\rho_s}{2}. } \]

更精确地说，\(\rho_s\) 应该取为重整化后的 stiffness。

vortex 对与二维 Coulomb gas

多个 vortex 的角度场可以写为多个解的叠加。将其代入能量后，得到 vortex 之间的对数相互作用：

\[ E_{\rm vort} = \pi\rho_s \sum_i q_i^2\ln\frac{L}{a} -2\pi\rho_s \sum_{i<j} q_iq_j \ln\frac{r_{ij}}{a} +N_v E_c. \]

这里 \(E_c\) 是 vortex core energy。有限能构型需要总 charge 为零：

\[ \sum_i q_i=0. \]

因此二维 XY 模型的 vortex 部分可以映射为二维 Coulomb gas：正负电荷之间具有对数相互作用。

定义无量纲 stiffness

\[ K=\frac{\rho_s}{T}, \]

以及 vortex fugacity

\[ y=e^{-E_c/T}. \]

小 \(y\) 表示 vortex 核心能很大，自由 vortex 稀少；大 \(y\) 表示 vortex 容易出现。

RG 方程的物理来源

BKT RG 的思想是逐步积分掉短距离的 vortex-antivortex 小偶极对，然后看 \(K\) 和 \(y\) 如何变化。

先看 fugacity 的 scaling。一个 vortex-antivortex 小对的相对位置积分有二维面积因子，因此粗粒化时有

\[ y\to y b^2. \]

但产生一个 vortex 对还要付出对数相互作用能。最小 vortex 的能量贡献带来因子

\[ b^{-\pi K}. \]

所以最低阶下

\[ y'\sim y b^{2-\pi K}. \]

写成微分形式：

\[ \boxed{ \frac{dy}{dl} = (2-\pi K)y } \]

其中

\[ l=\ln b. \]

这条式子说明：当

\[ \pi K>2, \]

vortex fugacity 是 irrelevant，低温下 vortex 对被束缚；当

\[ \pi K<2, \]

vortex fugacity 是 relevant，高温下自由 vortex 增殖。

第二条 RG 方程描述 vortex 小偶极对对 stiffness 的屏蔽。vortex 对会极化，削弱长距离 stiffness，因此

\[ \boxed{ \frac{dK^{-1}}{dl} = 4\pi^3 y^2 } \]

到最低非平凡阶，BKT RG 方程为

\[ \boxed{ \begin{aligned} \frac{dK^{-1}}{dl} &= 4\pi^3y^2,\\ \frac{dy}{dl} &= (2-\pi K)y. \end{aligned} } \]

不同文献会对 \(K\) 和 \(y\) 采用不同归一化，数值系数可能变化，但方程结构相同。

RG 流图

RG 流有三类重要区域。

第一，低温区域：

\[ K>\frac2\pi. \]

此时

\[ \frac{dy}{dl}<0, \]

vortex fugacity 流向

\[ y\to0. \]

系统流向一条 Gaussian fixed line。低温相是一整条临界线，不是一个孤立固定点。不同温度对应不同 stiffness 和不同指数

\[ \eta=\frac{1}{2\pi K}. \]

第二，高温区域：

\[ K<\frac2\pi. \]

此时 \(y\) 增长，vortex 解束缚，系统进入指数关联的无序相。

第三，临界 separatrix。它把束缚相和解束缚相分开。在线性近似中，临界条件为

\[ \pi K_c=2. \]

于是

\[ K_c=\frac2\pi. \]

代回

\[ \eta=\frac{1}{2\pi K}, \]

得到 BKT 转变点处的普适指数

\[ \boxed{ \eta(T_{\rm BKT})=\frac14. } \]

普适刚度跳跃

由于

\[ K=\frac{\rho_s}{T}, \]

临界条件

\[ K_c=\frac2\pi \]

给出

\[ \boxed{ \rho_s(T_{\rm BKT}^-) = \frac{2T_{\rm BKT}}{\pi}. } \]

这就是 Nelson-Kosterlitz universal jump。它的含义是：从低温侧接近 BKT 转变时，重整化后的 stiffness 到达普适值；一旦进入高温侧，自由 vortex 屏蔽 stiffness，使长距离 stiffness 跳到零。

在 Monte Carlo 中，二维量子 boson 或 classical XY 模型常通过 helicity modulus、spin stiffness 或 winding number 来估计 \(\rho_s\)，再用这条普适跳跃关系定位 \(T_{\rm BKT}\)。

超流与 XY 模型的对应

BKT 理论不只适用于经典 XY 磁体，也适用于二维超流的相位涨落。以 Bose-Hubbard 模型为例：

\[ H = -t\sum_{\langle ij\rangle} (b_i^\dagger b_j+b_j^\dagger b_i) +\frac{U}{2}\sum_i n_i(n_i-1) -\mu\sum_i n_i. \]

在振幅涨落较小的超流区域，可以写成

\[ b_i\simeq \sqrt{\rho_0}e^{i\theta_i}. \]

代入 hopping 项得到

\[ -t(b_i^\dagger b_j+b_j^\dagger b_i) \simeq -2t\rho_0\cos(\theta_i-\theta_j). \]

于是低能有效模型就是二维 XY 模型：

\[ H_{\rm eff} = -J\sum_{\langle ij\rangle} \cos(\theta_i-\theta_j), \qquad J\simeq 2t\rho_0. \]

这里 \(\theta_i\) 是超流相位，\(J\) 或连续理论中的 \(\rho_s\) 是相位刚度。超流速度与相位梯度相关：

\[ \mathbf v_s \propto \nabla\theta. \]

绕闭合路径一圈时，

\[ \oint\nabla\theta\cdot d\mathbf l = 2\pi n, \qquad n\in\mathbb Z. \]

因此 vortex 在超流语言中就是量子化环流的拓扑缺陷。二维超流失去相干性的方式，正是 vortex-antivortex 对从束缚到解束缚。

这个对应在数值上很有用：classical XY 模型、二维量子 boson 的 winding number、helicity modulus 和 superfluid stiffness 常常描述同一类长距离物理，只是显微模型不同。

这里要注意“有序”的说法。在二维有限温短程体系中，单粒子相位关联不能趋向常数，因此严格地说没有真正的

\[ \langle b\rangle\ne0. \]

但低温 BKT 相中，关联函数可以代数衰减：

\[ \langle b^\dagger(r)b(0)\rangle \sim r^{-\eta}. \]

这种准长程序足以给出非零的长距离刚度和稳定的超流响应。数值上如果只看有限尺寸的磁化或 condensate fraction，很容易误以为有普通长程序；因此 BKT 分析更应该看 stiffness、winding、关联指数和对数修正。

双层 XY、PSF 与配对 BKT 图像

双层或两组分体系提供了一个稍丰富的 BKT 图像。一个简化的双层 XY 模型可写为

\[ H = -J\sum_{\langle ij\rangle} \left[ \cos(\theta_{i,a}-\theta_{j,a}) +\cos(\theta_{i,b}-\theta_{j,b}) \right] -K\sum_i\cos(\theta_{i,a}-\theta_{i,b}). \]

定义对称和反对称相位：

\[ \theta_+ = \frac{\theta_a+\theta_b}{2}, \qquad \theta_- = \frac{\theta_a-\theta_b}{2}. \]

\(\theta_+\) 描述整体相位，也就是总超流通道；\(\theta_-\) 描述两层之间的相对相位。层间耦合 \(K\) 会倾向于锁定相对相位，使低能涨落主要由整体相位控制。

把层内梯度项用这两个变量改写，可以看到两个通道的含义更清楚。连续近似下，

\[ (\nabla\theta_a)^2+(\nabla\theta_b)^2 = 2(\nabla\theta_+)^2 +2(\nabla\theta_-)^2. \]

层间项则近似为

\[ -K\cos(\theta_a-\theta_b) = -K\cos(2\theta_-). \]

因此 \(\theta_-\) 会受到一个 pinning potential，而 \(\theta_+\) 仍然是整体 \(U(1)\) 相位。若相对相位被锁住，两层的 vortex 倾向于绑定在一起；若相对通道也很软，就可能出现更丰富的 defect，例如只在一层中出现的 vortex、两层共同 vortex、或相对相位的 domain-wall-like 激发。

在配对超流的语言中，单粒子相干可能被抑制，而配对算符仍保持相干：

\[ \langle b\rangle=0, \qquad \langle b^2\rangle\ne0 \]

或在二维有限温体系中表现为配对关联的代数衰减。对应的 BKT 转变可以理解为“配对相位”的 vortex 解束缚，而不是单粒子相位的普通 XY 解束缚。

更具体地说，若低能有效自由度不是单个相位 \(e^{i\theta}\)，而是配对相位

\[ e^{i2\theta}, \]

那么最自然的关联函数也从单粒子关联变成配对关联：

\[ G_1(r)=\langle b^\dagger(r)b(0)\rangle, \qquad G_2(r)=\langle b^{\dagger 2}(r)b^2(0)\rangle. \]

普通超流中，\(G_1\) 和 \(G_2\) 都可以有代数衰减；配对超流中，\(G_1\) 可能指数衰减，而 \(G_2\) 仍然代数衰减。此时 Monte Carlo 或张量网络分析应优先看配对关联、配对刚度、相对通道是否 gapped，以及对应 vortex 的行为。

从 BKT 角度看，配对相位的基本 vortex 和单粒子相位的 vortex 不是同一个对象。若物理有序变量是 \(e^{i2\theta}\)，那么 \(\theta\) 绕 \(\pi\) 已经让 \(2\theta\) 绕 \(2\pi\)。这类 half-vortex 或 composite vortex 是否允许、能量如何、是否被层间耦合禁闭，都会影响实际相图。教程里不把这些说成普遍结论，是因为它们依赖具体模型；但作为读图方式，它提醒我们：多通道 BKT 相变的关键是先找出真正保持代数关联的相位变量。

需要谨慎的是，具体 bilayer 模型可能有多个通道、多个刚度和不同类型的 vortex，例如单层 vortex、两层共同 vortex、相对相位 defect 等。哪些缺陷先增殖取决于耦合、密度、约束和观测量定义。因此在教程中更稳妥的说法是：双层 XY 和 PSF 提供了 BKT 机制在多通道相位场中的一个重要背景，而具体相图需要由模型和数值数据决定。

实际读 bilayer 或 PSF 数值结果时，可以按下面顺序整理：

1. 写清楚显微自由度：两层、两组分，还是单组分但允许配对。
2. 找出低能相位变量：总相位、相对相位、配对相位分别是什么。
3. 判断哪些通道有刚度，哪些通道被 pin 住或变成 massive。
4. 对每个候选相位变量写出相应关联函数。
5. 再讨论 vortex 解束缚和 BKT 临界点。

这样做可以避免把“单粒子超流消失”“配对超流出现”“相对相位锁定”“BKT 转变”混成同一句话。它们有关联，但不是同一个判断。

关联长度的本质奇异性

普通二阶相变中，关联长度通常幂律发散：

\[ \xi\sim |T-T_c|^{-\nu}. \]

BKT 相变不同。高温侧接近 \(T_{\rm BKT}\) 时，RG 流在临界 separatrix 附近走得非常慢，最终才流向强耦合无序相。这导致关联长度呈本质奇异性：

\[ \boxed{ \xi \sim \exp\left( \frac{b}{\sqrt{T-T_{\rm BKT}}} \right) } \qquad (T>T_{\rm BKT}). \]

这里 \(b\) 是非普适常数。这个公式说明 BKT 相变非常难数值定位：\(\xi\) 增长极快，有限尺寸系统很容易误以为自己还在临界相。

有限尺寸标度和 Monte Carlo 判据

BKT 相变的有限尺寸分析不能直接套普通二阶相变的幂律形式

\[ tL^{1/\nu}. \]

因为 BKT 的关联长度不是幂律发散。常用判据包括：

1. helicity modulus 或 stiffness jump：

\[ \rho_s(T_{\rm BKT}) = \frac{2T_{\rm BKT}}{\pi}. \]

有限尺寸下有对数修正，常用形式为

\[ \rho_s(L,T_{\rm BKT}) = \frac{2T_{\rm BKT}}{\pi} \left[ 1+\frac{1}{2\ln L+C} \right], \]

其中 \(C\) 是非普适常数。不同约定下修正项可能写在倒数 stiffness 上，但核心是 \(1/\ln L\) 修正。

1. 关联函数指数：

低温相

\[ G(r)\sim r^{-\eta(T)}. \]

在转变点

\[ \eta=\frac14. \]

有限尺寸中，结构因子或磁化矩可满足

\[ \langle m^2\rangle \sim L^{-\eta}. \]

在 \(T_{\rm BKT}\) 附近应看到 \(\eta\simeq1/4\)。

1. vortex 观测量：

可以测量 vortex density、vortex-antivortex pair 分布、自由 vortex 数目等。低温下 vortex 多以紧束缚对出现；高温下自由 vortex 增多。

1. data collapse 的修改形式：

高温侧可用

\[ \frac{L}{\xi(T)} \]

作为标度变量，其中

\[ \xi(T) \sim \exp\left( \frac{b}{\sqrt{T-T_{\rm BKT}}} \right). \]

因此 collapse 变量应改成

\[ L\exp\left[ -\frac{b}{\sqrt{T-T_{\rm BKT}}} \right]. \]

和 Mermin-Wagner 定理的关系

Mermin-Wagner 定理禁止二维短程连续对称性系统在有限温有真正长程序。BKT 相变正是这一限制下出现的新型相变：

• 低温相：无真正磁化，但有代数关联。
• 高温相：关联函数指数衰减。
• 转变机制：vortex-antivortex 从束缚到解束缚。
• RG 图像：vortex fugacity 从 irrelevant 变为 relevant。

所以 BKT 相变没有违反 Mermin-Wagner 定理。它展示的是另一种相变范式：拓扑缺陷的绑定状态取代了 Landau 序参量是否非零，成为区分相结构的核心。

小结

BKT 相变可以用三层图像理解。

第一层是物理直觉：低温下角度场平滑，vortex-antivortex 成对束缚；高温下熵促使自由 vortex 增殖。

第二层是能熵竞争：单个 vortex 的自由能为

\[ F_v = (\pi\rho_s-2T)\ln(L/a), \]

由此得到解束缚的粗略条件

\[ T_{\rm BKT}\simeq \frac{\pi\rho_s}{2}. \]

第三层是 RG 理论：\(K\) 和 vortex fugacity \(y\) 满足

\[ \frac{dK^{-1}}{dl}=4\pi^3y^2, \qquad \frac{dy}{dl}=(2-\pi K)y. \]

这套 RG 给出低温 fixed line、vortex 解束缚、普适刚度跳跃、\(\eta=1/4\) 和关联长度本质奇异性。BKT 相变的特殊性正来自这些结构。