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全排列问题

全排列问题是回溯算法的一个典型应用。它的定义是在给定一个集合(如一个数组或字符串)的情况下,找出其中元素的所有可能的排列。

下表列举了几个示例数据,包括输入数组和对应的所有排列。

  全排列示例

输入数组 所有排列
$[1]$ $[1]$
$[1, 2]$ $[1, 2], [2, 1]$
$[1, 2, 3]$ $[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]$

无相等元素的情况

Question

输入一个整数数组,其中不包含重复元素,返回所有可能的排列。

从回溯算法的角度看,我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果。假设输入数组为 $[1, 2, 3]$ ,如果我们先选择 $1$ ,再选择 $3$ ,最后选择 $2$ ,则获得排列 $[1, 3, 2]$ 。回退表示撤销一个选择,之后继续尝试其他选择。

从回溯代码的角度看,候选集合 choices 是输入数组中的所有元素,状态 state 是直至目前已被选择的元素。请注意,每个元素只允许被选择一次,因此 state 中的所有元素都应该是唯一的

如下图所示,我们可以将搜索过程展开成一棵递归树,树中的每个节点代表当前状态 state 。从根节点开始,经过三轮选择后到达叶节点,每个叶节点都对应一个排列。

全排列的递归树

重复选择剪枝

为了实现每个元素只被选择一次,我们考虑引入一个布尔型数组 selected ,其中 selected[i] 表示 choices[i] 是否已被选择,并基于它实现以下剪枝操作。

  • 在做出选择 choice[i] 后,我们就将 selected[i] 赋值为 $\text{True}$ ,代表它已被选择。
  • 遍历选择列表 choices 时,跳过所有已被选择的节点,即剪枝。

如下图所示,假设我们第一轮选择 1 ,第二轮选择 3 ,第三轮选择 2 ,则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支,在第三轮剪掉元素 1 和元素 3 的分支。

全排列剪枝示例

观察上图发现,该剪枝操作将搜索空间大小从 $O(n^n)$ 减小至 $O(n!)$ 。

代码实现

想清楚以上信息之后,我们就可以在框架代码中做“完形填空”了。为了缩短整体代码,我们不单独实现框架代码中的各个函数,而是将它们展开在 backtrack() 函数中:

[file]{permutations_i}-[class]{}-[func]{permutations_i}

考虑相等元素的情况

Question

输入一个整数数组,数组中可能包含重复元素,返回所有不重复的排列。

假设输入数组为 $[1, 1, 2]$ 。为了方便区分两个重复元素 $1$ ,我们将第二个 $1$ 记为 $\hat{1}$ 。

如下图所示,上述方法生成的排列有一半是重复的。

重复排列

那么如何去除重复的排列呢?最直接地,考虑借助一个哈希集合,直接对排列结果进行去重。然而这样做不够优雅,因为生成重复排列的搜索分支没有必要,应当提前识别并剪枝,这样可以进一步提升算法效率。

相等元素剪枝

观察下图,在第一轮中,选择 $1$ 或选择 $\hat{1}$ 是等价的,在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此应该把 $\hat{1}$ 剪枝。

同理,在第一轮选择 $2$ 之后,第二轮选择中的 $1$ 和 $\hat{1}$ 也会产生重复分支,因此也应将第二轮的 $\hat{1}$ 剪枝。

从本质上看,我们的目标是在某一轮选择中,保证多个相等的元素仅被选择一次

重复排列剪枝

代码实现

在上一题的代码的基础上,我们考虑在每一轮选择中开启一个哈希集合 duplicated ,用于记录该轮中已经尝试过的元素,并将重复元素剪枝:

[file]{permutations_ii}-[class]{}-[func]{permutations_ii}

假设元素两两之间互不相同,则 $n$ 个元素共有 $n!$ 种排列(阶乘);在记录结果时,需要复制长度为 $n$ 的列表,使用 $O(n)$ 时间。因此时间复杂度为 $O(n!n)$

最大递归深度为 $n$ ,使用 $O(n)$ 栈帧空间。selected 使用 $O(n)$ 空间。同一时刻最多共有 $n$ 个 duplicated ,使用 $O(n^2)$ 空间。因此空间复杂度为 $O(n^2)$

两种剪枝对比

请注意,虽然 selectedduplicated 都用于剪枝,但两者的目标不同。

  • 重复选择剪枝:整个搜索过程中只有一个 selected 。它记录的是当前状态中包含哪些元素,其作用是避免某个元素在 state 中重复出现。
  • 相等元素剪枝:每轮选择(每个调用的 backtrack 函数)都包含一个 duplicated 。它记录的是在本轮遍历(for 循环)中哪些元素已被选择过,其作用是保证相等元素只被选择一次。

下图展示了两个剪枝条件的生效范围。注意,树中的每个节点代表一个选择,从根节点到叶节点的路径上的各个节点构成一个排列。

两种剪枝条件的作用范围