二叉树数组表示¶

在链表表示下，二叉树的存储单元为节点 TreeNode ，节点之间通过指针相连接。上一节介绍了链表表示下的二叉树的各项基本操作。

那么，我们能否用数组来表示二叉树呢？答案是肯定的。

表示完美二叉树¶

先分析一个简单案例。给定一棵完美二叉树，我们将所有节点按照层序遍历的顺序存储在一个数组中，则每个节点都对应唯一的数组索引。

根据层序遍历的特性，我们可以推导出父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”：若某节点的索引为 \(i\) ，则该节点的左子节点索引为 \(2i + 1\) ，右子节点索引为 \(2i + 2\) 。下图展示了各个节点索引之间的映射关系。

映射公式的角色相当于链表中的节点引用（指针）。给定数组中的任意一个节点，我们都可以通过映射公式来访问它的左（右）子节点。

表示任意二叉树¶

完美二叉树是一个特例，在二叉树的中间层通常存在许多 None 。由于层序遍历序列并不包含这些 None ，因此我们无法仅凭该序列来推测 None 的数量和分布位置。这意味着存在多种二叉树结构都符合该层序遍历序列。

如下图所示，给定一棵非完美二叉树，上述数组表示方法已经失效。

为了解决此问题，我们可以考虑在层序遍历序列中显式地写出所有 None 。如下图所示，这样处理后，层序遍历序列就可以唯一表示二叉树了。示例代码如下：

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCKotlinRubyZig

# 二叉树的数组表示
# 使用 None 来表示空位
tree = [1, 2, 3, 4, None, 6, 7, 8, 9, None, None, 12, None, None, 15]

/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int 最大值 INT_MAX 标记空位
vector<int> tree = {1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15};

/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int 的包装类 Integer ，就可以使用 null 来标记空位
Integer[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 };

/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int? 可空类型 ，就可以使用 null 来标记空位
int?[] tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];

/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 any 类型的切片, 就可以使用 nil 来标记空位
tree := []any{1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15}

/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 Int? 可空类型 ，就可以使用 nil 来标记空位
let tree: [Int?] = [1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15]

/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 null 来表示空位
let tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];

/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 null 来表示空位
let tree: (number | null)[] = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];

/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int? 可空类型 ，就可以使用 null 来标记空位
List<int?> tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];

/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 None 来标记空位
let tree = [Some(1), Some(2), Some(3), Some(4), None, Some(6), Some(7), Some(8), Some(9), None, None, Some(12), None, None, Some(15)];

/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int 最大值标记空位，因此要求节点值不能为 INT_MAX
int tree[] = {1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15};

/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 null 来表示空位
val tree = arrayOf( 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 )

### 二叉树的数组表示 ###
# 使用 nil 来表示空位
tree = [1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15]

值得说明的是，完全二叉树非常适合使用数组来表示。回顾完全二叉树的定义，None 只出现在最底层且靠右的位置，因此所有 None 一定出现在层序遍历序列的末尾。

这意味着使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储所有 None ，非常方便。下图给出了一个例子。

以下代码实现了一棵基于数组表示的二叉树，包括以下几种操作。

给定某节点，获取它的值、左（右）子节点、父节点。
获取前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历序列。

Python

array_binary_tree.py

class ArrayBinaryTree:
    """数组表示下的二叉树类"""

    def __init__(self, arr: list[int | None]):
        """构造方法"""
        self._tree = list(arr)

    def size(self):
        """列表容量"""
        return len(self._tree)

    def val(self, i: int) -> int | None:
        """获取索引为 i 节点的值"""
        # 若索引越界，则返回 None ，代表空位
        if i < 0 or i >= self.size():
            return None
        return self._tree[i]

    def left(self, i: int) -> int | None:
        """获取索引为 i 节点的左子节点的索引"""
        return 2 * i + 1

    def right(self, i: int) -> int | None:
        """获取索引为 i 节点的右子节点的索引"""
        return 2 * i + 2

    def parent(self, i: int) -> int | None:
        """获取索引为 i 节点的父节点的索引"""
        return (i - 1) // 2

    def level_order(self) -> list[int]:
        """层序遍历"""
        self.res = []
        # 直接遍历数组
        for i in range(self.size()):
            if self.val(i) is not None:
                self.res.append(self.val(i))
        return self.res

    def dfs(self, i: int, order: str):
        """深度优先遍历"""
        if self.val(i) is None:
            return
        # 前序遍历
        if order == "pre":
            self.res.append(self.val(i))
        self.dfs(self.left(i), order)
        # 中序遍历
        if order == "in":
            self.res.append(self.val(i))
        self.dfs(self.right(i), order)
        # 后序遍历
        if order == "post":
            self.res.append(self.val(i))

    def pre_order(self) -> list[int]:
        """前序遍历"""
        self.res = []
        self.dfs(0, order="pre")
        return self.res

    def in_order(self) -> list[int]:
        """中序遍历"""
        self.res = []
        self.dfs(0, order="in")
        return self.res

    def post_order(self) -> list[int]:
        """后序遍历"""
        self.res = []
        self.dfs(0, order="post")
        return self.res

优点与局限性¶

二叉树的数组表示主要有以下优点。

数组存储在连续的内存空间中，对缓存友好，访问与遍历速度较快。
不需要存储指针，比较节省空间。
允许随机访问节点。

然而，数组表示也存在一些局限性。

数组存储需要连续内存空间，因此不适合存储数据量过大的树。
增删节点需要通过数组插入与删除操作实现，效率较低。
当二叉树中存在大量 None 时，数组中包含的节点数据比重较低，空间利用率较低。