归并排序¶
归并排序（merge sort）是一种基于分治策略的排序算法，包含下图所示的“划分”和“合并”阶段。
- 划分阶段：通过递归不断地将数组从中点处分开，将长数组的排序问题转换为短数组的排序问题。
- 合并阶段：当子数组长度为 1 时终止划分，开始合并，持续地将左右两个较短的有序数组合并为一个较长的有序数组，直至结束。
算法流程¶
如下图所示，“划分阶段”从顶至底递归地将数组从中点切分为两个子数组。
- 计算数组中点
mid，递归划分左子数组（区间[left, mid]）和右子数组（区间[mid + 1, right]）。 - 递归执行步骤
1.，直至子数组区间长度为 1 时终止。
“合并阶段”从底至顶地将左子数组和右子数组合并为一个有序数组。需要注意的是，从长度为 1 的子数组开始合并，合并阶段中的每个子数组都是有序的。
=== "<1>"
=== "<2>"
=== "<3>"
=== "<4>"
=== "<5>"
=== "<6>"
=== "<7>"
=== "<8>"
=== "<9>"
=== "<10>"
观察发现，归并排序与二叉树后序遍历的递归顺序是一致的。
- 后序遍历：先递归左子树，再递归右子树，最后处理根节点。
- 归并排序：先递归左子数组，再递归右子数组，最后处理合并。
归并排序的实现如以下代码所示。请注意，nums 的待合并区间为 [left, right] ，而 tmp 的对应区间为 [0, right - left] 。
[file]{merge_sort}-[class]{}-[func]{merge_sort}
算法特性¶
- 时间复杂度为 $O(n \log n)$、非自适应排序：划分产生高度为 $\log n$ 的递归树，每层合并的总操作数量为 $n$ ，因此总体时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
- 空间复杂度为 $O(n)$、非原地排序：递归深度为 $\log n$ ，使用 $O(\log n)$ 大小的栈帧空间。合并操作需要借助辅助数组实现，使用 $O(n)$ 大小的额外空间。
- 稳定排序：在合并过程中，相等元素的次序保持不变。
链表排序¶
对于链表，归并排序相较于其他排序算法具有显著优势，可以将链表排序任务的空间复杂度优化至 $O(1)$ 。
- 划分阶段：可以使用“迭代”替代“递归”来实现链表划分工作，从而省去递归使用的栈帧空间。
- 合并阶段：在链表中，节点增删操作仅需改变引用（指针）即可实现，因此合并阶段（将两个短有序链表合并为一个长有序链表）无须创建额外链表。
具体实现细节比较复杂，有兴趣的读者可以查阅相关资料进行学习。