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建堆操作

在某些情况下,我们希望使用一个列表的所有元素来构建一个堆,这个过程被称为“建堆操作”。

借助入堆操作实现

我们首先创建一个空堆,然后遍历列表,依次对每个元素执行“入堆操作”,即先将元素添加至堆的尾部,再对该元素执行“从底至顶”堆化。

每当一个元素入堆,堆的长度就加一。由于节点是从顶到底依次被添加进二叉树的,因此堆是“自上而下”构建的。

设元素数量为 $n$ ,每个元素的入堆操作使用 $O(\log{n})$ 时间,因此该建堆方法的时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。

通过遍历堆化实现

实际上,我们可以实现一种更为高效的建堆方法,共分为两步。

  1. 将列表所有元素原封不动地添加到堆中,此时堆的性质尚未得到满足。
  2. 倒序遍历堆(层序遍历的倒序),依次对每个非叶节点执行“从顶至底堆化”。

每当堆化一个节点后,以该节点为根节点的子树就形成一个合法的子堆。而由于是倒序遍历,因此堆是“自下而上”构建的。

之所以选择倒序遍历,是因为这样能够保证当前节点之下的子树已经是合法的子堆,这样堆化当前节点才是有效的。

值得说明的是,由于叶节点没有子节点,因此它们天然就是合法的子堆,无须堆化。如以下代码所示,最后一个非叶节点是最后一个节点的父节点,我们从它开始倒序遍历并执行堆化:

[file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{__init__}

复杂度分析

下面,我们来尝试推算第二种建堆方法的时间复杂度。

  • 假设完全二叉树的节点数量为 $n$ ,则叶节点数量为 $(n + 1) / 2$ ,其中 $/$ 为向下整除。因此需要堆化的节点数量为 $(n - 1) / 2$ 。
  • 在从顶至底堆化的过程中,每个节点最多堆化到叶节点,因此最大迭代次数为二叉树高度 $\log n$ 。

将上述两者相乘,可得到建堆过程的时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。但这个估算结果并不准确,因为我们没有考虑到二叉树底层节点数量远多于顶层节点的性质

接下来我们来进行更为准确的计算。为了降低计算难度,假设给定一个节点数量为 $n$ 、高度为 $h$ 的“完美二叉树”,该假设不会影响计算结果的正确性。

完美二叉树的各层节点数量

如上图所示,节点“从顶至底堆化”的最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离,而该距离正是“节点高度”。因此,我们可以对各层的“节点数量 $\times$ 节点高度”求和,得到所有节点的堆化迭代次数的总和

$$ T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{(h-1)}\times1 $$

化简上式需要借助中学的数列知识,先将 $T(h)$ 乘以 $2$ ,得到:

$$ \begin{aligned} T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{h-1}\times1 \newline 2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \dots + 2^{h}\times1 \newline \end{aligned} $$

使用错位相减法,用下式 $2 T(h)$ 减去上式 $T(h)$ ,可得:

$$ 2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{h-1} + 2^h $$

观察上式,发现 $T(h)$ 是一个等比数列,可直接使用求和公式,得到时间复杂度为:

$$ \begin{aligned} T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline & = 2^{h+1} - h - 2 \newline & = O(2^h) \end{aligned} $$

进一步,高度为 $h$ 的完美二叉树的节点数量为 $n = 2^{h+1} - 1$ ,易得复杂度为 $O(2^h) = O(n)$ 。以上推算表明,输入列表并建堆的时间复杂度为 $O(n)$ ,非常高效