二叉搜索树¶

如下图所示，二叉搜索树（binary search tree）满足以下条件。

对于根节点，左子树中所有节点的值 \(<\) 根节点的值 \(<\) 右子树中所有节点的值。
任意节点的左、右子树也是二叉搜索树，即同样满足条件 1. 。

二叉搜索树的操作¶

我们将二叉搜索树封装为一个类 BinarySearchTree ，并声明一个成员变量 root ，指向树的根节点。

查找节点¶

给定目标节点值 num ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。如下图所示，我们声明一个节点 cur ，从二叉树的根节点 root 出发，循环比较节点值 cur.val 和 num 之间的大小关系。

若 cur.val < num ，说明目标节点在 cur 的右子树中，因此执行 cur = cur.right 。
若 cur.val > num ，说明目标节点在 cur 的左子树中，因此执行 cur = cur.left 。
若 cur.val = num ，说明找到目标节点，跳出循环并返回该节点。

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二叉搜索树的查找操作与二分查找算法的工作原理一致，都是每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 \(O(\log n)\) 时间。示例代码如下：

Python

binary_search_tree.py

    def search(self, num: int) -> TreeNode | None:
        """查找节点"""
        cur = self._root
        # 循环查找，越过叶节点后跳出
        while cur is not None:
            # 目标节点在 cur 的右子树中
            if cur.val < num:
                cur = cur.right
            # 目标节点在 cur 的左子树中
            elif cur.val > num:
                cur = cur.left
            # 找到目标节点，跳出循环
            else:
                break
        return cur

插入节点¶

给定一个待插入元素 num ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，插入操作流程如下图所示。

查找插入位置：与查找操作相似，从根节点出发，根据当前节点值和 num 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶节点（遍历至 None ）时跳出循环。
在该位置插入节点：初始化节点 num ，将该节点置于 None 的位置。

在代码实现中，需要注意以下两点。

二叉搜索树不允许存在重复节点，否则将违反其定义。因此，若待插入节点在树中已存在，则不执行插入，直接返回。
为了实现插入节点，我们需要借助节点 pre 保存上一轮循环的节点。这样在遍历至 None 时，我们可以获取到其父节点，从而完成节点插入操作。

Python

binary_search_tree.py

    def insert(self, num: int):
        """插入节点"""
        # 若树为空，则初始化根节点
        if self._root is None:
            self._root = TreeNode(num)
            return
        # 循环查找，越过叶节点后跳出
        cur, pre = self._root, None
        while cur is not None:
            # 找到重复节点，直接返回
            if cur.val == num:
                return
            pre = cur
            # 插入位置在 cur 的右子树中
            if cur.val < num:
                cur = cur.right
            # 插入位置在 cur 的左子树中
            else:
                cur = cur.left
        # 插入节点
        node = TreeNode(num)
        if pre.val < num:
            pre.right = node
        else:
            pre.left = node

与查找节点相同，插入节点使用 \(O(\log n)\) 时间。

删除节点¶

先在二叉树中查找到目标节点，再将其删除。与插入节点类似，我们需要保证在删除操作完成后，二叉搜索树的“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质仍然满足。因此，我们根据目标节点的子节点数量，分 0、1 和 2 三种情况，执行对应的删除节点操作。

如下图所示，当待删除节点的度为 \(0\) 时，表示该节点是叶节点，可以直接删除。

如下图所示，当待删除节点的度为 \(1\) 时，将待删除节点替换为其子节点即可。

当待删除节点的度为 \(2\) 时，我们无法直接删除它，而需要使用一个节点替换该节点。由于要保持二叉搜索树“左子树 \(<\) 根节点 \(<\) 右子树”的性质，因此这个节点可以是右子树的最小节点或左子树的最大节点。

假设我们选择右子树的最小节点（中序遍历的下一个节点），则删除操作流程如下图所示。

找到待删除节点在“中序遍历序列”中的下一个节点，记为 tmp 。
用 tmp 的值覆盖待删除节点的值，并在树中递归删除节点 tmp 。

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删除节点操作同样使用 \(O(\log n)\) 时间，其中查找待删除节点需要 \(O(\log n)\) 时间，获取中序遍历后继节点需要 \(O(\log n)\) 时间。示例代码如下：

Python

binary_search_tree.py

    def remove(self, num: int):
        """删除节点"""
        # 若树为空，直接提前返回
        if self._root is None:
            return
        # 循环查找，越过叶节点后跳出
        cur, pre = self._root, None
        while cur is not None:
            # 找到待删除节点，跳出循环
            if cur.val == num:
                break
            pre = cur
            # 待删除节点在 cur 的右子树中
            if cur.val < num:
                cur = cur.right
            # 待删除节点在 cur 的左子树中
            else:
                cur = cur.left
        # 若无待删除节点，则直接返回
        if cur is None:
            return

        # 子节点数量 = 0 or 1
        if cur.left is None or cur.right is None:
            # 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
            child = cur.left or cur.right
            # 删除节点 cur
            if cur != self._root:
                if pre.left == cur:
                    pre.left = child
                else:
                    pre.right = child
            else:
                # 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
                self._root = child
        # 子节点数量 = 2
        else:
            # 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
            tmp: TreeNode = cur.right
            while tmp.left is not None:
                tmp = tmp.left
            # 递归删除节点 tmp
            self.remove(tmp.val)
            # 用 tmp 覆盖 cur
            cur.val = tmp.val

中序遍历有序¶

如下图所示，二叉树的中序遍历遵循“左 \(\rightarrow\) 根 \(\rightarrow\) 右”的遍历顺序，而二叉搜索树满足“左子节点 \(<\) 根节点 \(<\) 右子节点”的大小关系。

这意味着在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小节点，从而得出一个重要性质：二叉搜索树的中序遍历序列是升序的。

利用中序遍历升序的性质，我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需 \(O(n)\) 时间，无须进行额外的排序操作，非常高效。

二叉搜索树的效率¶

给定一组数据，我们考虑使用数组或二叉搜索树存储。观察下表，二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，具有稳定且高效的性能。只有在高频添加、低频查找删除数据的场景下，数组比二叉搜索树的效率更高。

表数组与搜索树的效率对比

	无序数组	二叉搜索树
查找元素	\(O(n)\)	\(O(\log n)\)
插入元素	\(O(1)\)	\(O(\log n)\)
删除元素	\(O(n)\)	\(O(\log n)\)

在理想情况下，二叉搜索树是“平衡”的，这样就可以在 \(\log n\) 轮循环内查找任意节点。

然而，如果我们在二叉搜索树中不断地插入和删除节点，可能导致二叉树退化为下图所示的链表，这时各种操作的时间复杂度也会退化为 \(O(n)\) 。

二叉搜索树常见应用¶

用作系统中的多级索引，实现高效的查找、插入、删除操作。
作为某些搜索算法的底层数据结构。
用于存储数据流，以保持其有序状态。