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二叉搜索树

如下图所示,二叉搜索树(binary search tree)满足以下条件。

  1. 对于根节点,左子树中所有节点的值 $<$ 根节点的值 $<$ 右子树中所有节点的值。
  2. 任意节点的左、右子树也是二叉搜索树,即同样满足条件 1.

二叉搜索树

二叉搜索树的操作

我们将二叉搜索树封装为一个类 BinarySearchTree ,并声明一个成员变量 root ,指向树的根节点。

查找节点

给定目标节点值 num ,可以根据二叉搜索树的性质来查找。如下图所示,我们声明一个节点 cur ,从二叉树的根节点 root 出发,循环比较节点值 cur.valnum 之间的大小关系。

  • cur.val < num ,说明目标节点在 cur 的右子树中,因此执行 cur = cur.right
  • cur.val > num ,说明目标节点在 cur 的左子树中,因此执行 cur = cur.left
  • cur.val = num ,说明找到目标节点,跳出循环并返回该节点。

=== "<1>" 二叉搜索树查找节点示例

=== "<2>" bst_search_step2

=== "<3>" bst_search_step3

=== "<4>" bst_search_step4

二叉搜索树的查找操作与二分查找算法的工作原理一致,都是每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度,当二叉树平衡时,使用 $O(\log n)$ 时间。示例代码如下:

[file]{binary_search_tree}-[class]{binary_search_tree}-[func]{search}

插入节点

给定一个待插入元素 num ,为了保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质,插入操作流程如下图所示。

  1. 查找插入位置:与查找操作相似,从根节点出发,根据当前节点值和 num 的大小关系循环向下搜索,直到越过叶节点(遍历至 None )时跳出循环。
  2. 在该位置插入节点:初始化节点 num ,将该节点置于 None 的位置。

在二叉搜索树中插入节点

在代码实现中,需要注意以下两点。

  • 二叉搜索树不允许存在重复节点,否则将违反其定义。因此,若待插入节点在树中已存在,则不执行插入,直接返回。
  • 为了实现插入节点,我们需要借助节点 pre 保存上一轮循环的节点。这样在遍历至 None 时,我们可以获取到其父节点,从而完成节点插入操作。
[file]{binary_search_tree}-[class]{binary_search_tree}-[func]{insert}

与查找节点相同,插入节点使用 $O(\log n)$ 时间。

删除节点

先在二叉树中查找到目标节点,再将其删除。与插入节点类似,我们需要保证在删除操作完成后,二叉搜索树的“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质仍然满足。因此,我们根据目标节点的子节点数量,分 0、1 和 2 三种情况,执行对应的删除节点操作。

如下图所示,当待删除节点的度为 $0$ 时,表示该节点是叶节点,可以直接删除。

在二叉搜索树中删除节点(度为 0 )

如下图所示,当待删除节点的度为 $1$ 时,将待删除节点替换为其子节点即可。

在二叉搜索树中删除节点(度为 1 )

当待删除节点的度为 $2$ 时,我们无法直接删除它,而需要使用一个节点替换该节点。由于要保持二叉搜索树“左子树 $<$ 根节点 $<$ 右子树”的性质,因此这个节点可以是右子树的最小节点或左子树的最大节点

假设我们选择右子树的最小节点(中序遍历的下一个节点),则删除操作流程如下图所示。

  1. 找到待删除节点在“中序遍历序列”中的下一个节点,记为 tmp
  2. tmp 的值覆盖待删除节点的值,并在树中递归删除节点 tmp

=== "<1>" 在二叉搜索树中删除节点(度为 2 )

=== "<2>" bst_remove_case3_step2

=== "<3>" bst_remove_case3_step3

=== "<4>" bst_remove_case3_step4

删除节点操作同样使用 $O(\log n)$ 时间,其中查找待删除节点需要 $O(\log n)$ 时间,获取中序遍历后继节点需要 $O(\log n)$ 时间。示例代码如下:

[file]{binary_search_tree}-[class]{binary_search_tree}-[func]{remove}

中序遍历有序

如下图所示,二叉树的中序遍历遵循“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”的遍历顺序,而二叉搜索树满足“左子节点 $<$ 根节点 $<$ 右子节点”的大小关系。

这意味着在二叉搜索树中进行中序遍历时,总是会优先遍历下一个最小节点,从而得出一个重要性质:二叉搜索树的中序遍历序列是升序的

利用中序遍历升序的性质,我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需 $O(n)$ 时间,无须进行额外的排序操作,非常高效。

二叉搜索树的中序遍历序列

二叉搜索树的效率

给定一组数据,我们考虑使用数组或二叉搜索树存储。观察下表,二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶,具有稳定且高效的性能。只有在高频添加、低频查找删除数据的场景下,数组比二叉搜索树的效率更高。

  数组与搜索树的效率对比

无序数组 二叉搜索树
查找元素 $O(n)$ $O(\log n)$
插入元素 $O(1)$ $O(\log n)$
删除元素 $O(n)$ $O(\log n)$

在理想情况下,二叉搜索树是“平衡”的,这样就可以在 $\log n$ 轮循环内查找任意节点。

然而,如果我们在二叉搜索树中不断地插入和删除节点,可能导致二叉树退化为下图所示的链表,这时各种操作的时间复杂度也会退化为 $O(n)$ 。

二叉搜索树退化

二叉搜索树常见应用

  • 用作系统中的多级索引,实现高效的查找、插入、删除操作。
  • 作为某些搜索算法的底层数据结构。
  • 用于存储数据流,以保持其有序状态。