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贪心算法

贪心算法(greedy algorithm)是一种常见的解决优化问题的算法,其基本思想是在问题的每个决策阶段,都选择当前看起来最优的选择,即贪心地做出局部最优的决策,以期获得全局最优解。贪心算法简洁且高效,在许多实际问题中有着广泛的应用。

贪心算法和动态规划都常用于解决优化问题。它们之间存在一些相似之处,比如都依赖最优子结构性质,但工作原理不同。

  • 动态规划会根据之前阶段的所有决策来考虑当前决策,并使用过去子问题的解来构建当前子问题的解。
  • 贪心算法不会考虑过去的决策,而是一路向前地进行贪心选择,不断缩小问题范围,直至问题被解决。

我们先通过例题“零钱兑换”了解贪心算法的工作原理。这道题已经在“完全背包问题”章节中介绍过,相信你对它并不陌生。

Question

给定 $n$ 种硬币,第 $i$ 种硬币的面值为 $coins[i - 1]$ ,目标金额为 $amt$ ,每种硬币可以重复选取,问能够凑出目标金额的最少硬币数量。如果无法凑出目标金额,则返回 $-1$ 。

本题采取的贪心策略如下图所示。给定目标金额,我们贪心地选择不大于且最接近它的硬币,不断循环该步骤,直至凑出目标金额为止。

零钱兑换的贪心策略

实现代码如下所示:

[file]{coin_change_greedy}-[class]{}-[func]{coin_change_greedy}

你可能会不由地发出感叹:So clean !贪心算法仅用约十行代码就解决了零钱兑换问题。

贪心算法的优点与局限性

贪心算法不仅操作直接、实现简单,而且通常效率也很高。在以上代码中,记硬币最小面值为 $\min(coins)$ ,则贪心选择最多循环 $amt / \min(coins)$ 次,时间复杂度为 $O(amt / \min(coins))$ 。这比动态规划解法的时间复杂度 $O(n \times amt)$ 小了一个数量级。

然而,对于某些硬币面值组合,贪心算法并不能找到最优解。下图给出了两个示例。

  • 正例 $coins = [1, 5, 10, 20, 50, 100]$:在该硬币组合下,给定任意 $amt$ ,贪心算法都可以找到最优解。
  • 反例 $coins = [1, 20, 50]$:假设 $amt = 60$ ,贪心算法只能找到 $50 + 1 \times 10$ 的兑换组合,共计 $11$ 枚硬币,但动态规划可以找到最优解 $20 + 20 + 20$ ,仅需 $3$ 枚硬币。
  • 反例 $coins = [1, 49, 50]$:假设 $amt = 98$ ,贪心算法只能找到 $50 + 1 \times 48$ 的兑换组合,共计 $49$ 枚硬币,但动态规划可以找到最优解 $49 + 49$ ,仅需 $2$ 枚硬币。

贪心算法无法找出最优解的示例

也就是说,对于零钱兑换问题,贪心算法无法保证找到全局最优解,并且有可能找到非常差的解。它更适合用动态规划解决。

一般情况下,贪心算法的适用情况分以下两种。

  1. 可以保证找到最优解:贪心算法在这种情况下往往是最优选择,因为它往往比回溯、动态规划更高效。
  2. 可以找到近似最优解:贪心算法在这种情况下也是可用的。对于很多复杂问题来说,寻找全局最优解非常困难,能以较高效率找到次优解也是非常不错的。

贪心算法特性

那么问题来了,什么样的问题适合用贪心算法求解呢?或者说,贪心算法在什么情况下可以保证找到最优解?

相较于动态规划,贪心算法的使用条件更加苛刻,其主要关注问题的两个性质。

  • 贪心选择性质:只有当局部最优选择始终可以导致全局最优解时,贪心算法才能保证得到最优解。
  • 最优子结构:原问题的最优解包含子问题的最优解。

最优子结构已经在“动态规划”章节中介绍过,这里不再赘述。值得注意的是,一些问题的最优子结构并不明显,但仍然可使用贪心算法解决。

我们主要探究贪心选择性质的判断方法。虽然它的描述看上去比较简单,但实际上对于许多问题,证明贪心选择性质并非易事

例如零钱兑换问题,我们虽然能够容易地举出反例,对贪心选择性质进行证伪,但证实的难度较大。如果问:满足什么条件的硬币组合可以使用贪心算法求解?我们往往只能凭借直觉或举例子来给出一个模棱两可的答案,而难以给出严谨的数学证明。

Quote

有一篇论文给出了一个 $O(n^3)$ 时间复杂度的算法,用于判断一个硬币组合能否使用贪心算法找出任意金额的最优解。

Pearson, D. A polynomial-time algorithm for the change-making problem[J]. Operations Research Letters, 2005, 33(3): 231-234.

贪心算法解题步骤

贪心问题的解决流程大体可分为以下三步。

  1. 问题分析:梳理与理解问题特性,包括状态定义、优化目标和约束条件等。这一步在回溯和动态规划中都有涉及。
  2. 确定贪心策略:确定如何在每一步中做出贪心选择。这个策略能够在每一步减小问题的规模,并最终解决整个问题。
  3. 正确性证明:通常需要证明问题具有贪心选择性质和最优子结构。这个步骤可能需要用到数学证明,例如归纳法或反证法等。

确定贪心策略是求解问题的核心步骤,但实施起来可能并不容易,主要有以下原因。

  • 不同问题的贪心策略的差异较大。对于许多问题来说,贪心策略比较浅显,我们通过一些大概的思考与尝试就能得出。而对于一些复杂问题,贪心策略可能非常隐蔽,这种情况就非常考验个人的解题经验与算法能力了。
  • 某些贪心策略具有较强的迷惑性。当我们满怀信心设计好贪心策略,写出解题代码并提交运行,很可能发现部分测试样例无法通过。这是因为设计的贪心策略只是“部分正确”的,上文介绍的零钱兑换就是一个典型案例。

为了保证正确性,我们应该对贪心策略进行严谨的数学证明,通常需要用到反证法或数学归纳法

然而,正确性证明也很可能不是一件易事。如若没有头绪,我们通常会选择面向测试用例进行代码调试,一步步修改与验证贪心策略。

贪心算法典型例题

贪心算法常常应用在满足贪心选择性质和最优子结构的优化问题中,以下列举了一些典型的贪心算法问题。

  • 硬币找零问题:在某些硬币组合下,贪心算法总是可以得到最优解。
  • 区间调度问题:假设你有一些任务,每个任务在一段时间内进行,你的目标是完成尽可能多的任务。如果每次都选择结束时间最早的任务,那么贪心算法就可以得到最优解。
  • 分数背包问题:给定一组物品和一个载重量,你的目标是选择一组物品,使得总重量不超过载重量,且总价值最大。如果每次都选择性价比最高(价值 / 重量)的物品,那么贪心算法在一些情况下可以得到最优解。
  • 股票买卖问题:给定一组股票的历史价格,你可以进行多次买卖,但如果你已经持有股票,那么在卖出之前不能再买,目标是获取最大利润。
  • 霍夫曼编码:霍夫曼编码是一种用于无损数据压缩的贪心算法。通过构建霍夫曼树,每次选择出现频率最低的两个节点合并,最后得到的霍夫曼树的带权路径长度(编码长度)最小。
  • Dijkstra 算法:它是一种解决给定源顶点到其余各顶点的最短路径问题的贪心算法。