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哈希冲突

上一节提到,通常情况下哈希函数的输入空间远大于输出空间,因此理论上哈希冲突是不可避免的。比如,输入空间为全体整数,输出空间为数组容量大小,则必然有多个整数映射至同一桶索引。

哈希冲突会导致查询结果错误,严重影响哈希表的可用性。为了解决该问题,每当遇到哈希冲突时,我们就进行哈希表扩容,直至冲突消失为止。此方法简单粗暴且有效,但效率太低,因为哈希表扩容需要进行大量的数据搬运与哈希值计算。为了提升效率,我们可以采用以下策略。

  1. 改良哈希表数据结构,使得哈希表可以在出现哈希冲突时正常工作
  2. 仅在必要时,即当哈希冲突比较严重时,才执行扩容操作。

哈希表的结构改良方法主要包括“链式地址”和“开放寻址”。

链式地址

在原始哈希表中,每个桶仅能存储一个键值对。链式地址(separate chaining)将单个元素转换为链表,将键值对作为链表节点,将所有发生冲突的键值对都存储在同一链表中。下图展示了一个链式地址哈希表的例子。

链式地址哈希表

基于链式地址实现的哈希表的操作方法发生了以下变化。

  • 查询元素:输入 key ,经过哈希函数得到桶索引,即可访问链表头节点,然后遍历链表并对比 key 以查找目标键值对。
  • 添加元素:首先通过哈希函数访问链表头节点,然后将节点(键值对)添加到链表中。
  • 删除元素:根据哈希函数的结果访问链表头部,接着遍历链表以查找目标节点并将其删除。

链式地址存在以下局限性。

  • 占用空间增大:链表包含节点指针,它相比数组更加耗费内存空间。
  • 查询效率降低:因为需要线性遍历链表来查找对应元素。

以下代码给出了链式地址哈希表的简单实现,需要注意两点。

  • 使用列表(动态数组)代替链表,从而简化代码。在这种设定下,哈希表(数组)包含多个桶,每个桶都是一个列表。
  • 以下实现包含哈希表扩容方法。当负载因子超过 $\frac{2}{3}$ 时,我们将哈希表扩容至原先的 $2$ 倍。
[file]{hash_map_chaining}-[class]{hash_map_chaining}-[func]{}

值得注意的是,当链表很长时,查询效率 $O(n)$ 很差。此时可以将链表转换为“AVL 树”或“红黑树”,从而将查询操作的时间复杂度优化至 $O(\log n)$ 。

开放寻址

开放寻址(open addressing)不引入额外的数据结构,而是通过“多次探测”来处理哈希冲突,探测方式主要包括线性探测、平方探测和多次哈希等。

下面以线性探测为例,介绍开放寻址哈希表的工作机制。

线性探测

线性探测采用固定步长的线性搜索来进行探测,其操作方法与普通哈希表有所不同。

  • 插入元素:通过哈希函数计算桶索引,若发现桶内已有元素,则从冲突位置向后线性遍历(步长通常为 $1$ ),直至找到空桶,将元素插入其中。
  • 查找元素:若发现哈希冲突,则使用相同步长向后进行线性遍历,直到找到对应元素,返回 value 即可;如果遇到空桶,说明目标元素不在哈希表中,返回 None

下图展示了开放寻址(线性探测)哈希表的键值对分布。根据此哈希函数,最后两位相同的 key 都会被映射到相同的桶。而通过线性探测,它们被依次存储在该桶以及之下的桶中。

开放寻址(线性探测)哈希表的键值对分布

然而,线性探测容易产生“聚集现象”。具体来说,数组中连续被占用的位置越长,这些连续位置发生哈希冲突的可能性越大,从而进一步促使该位置的聚堆生长,形成恶性循环,最终导致增删查改操作效率劣化。

值得注意的是,我们不能在开放寻址哈希表中直接删除元素。这是因为删除元素会在数组内产生一个空桶 None ,而当查询元素时,线性探测到该空桶就会返回,因此在该空桶之下的元素都无法再被访问到,程序可能误判这些元素不存在,如下图所示。

在开放寻址中删除元素导致的查询问题

为了解决该问题,我们可以采用懒删除(lazy deletion)机制:它不直接从哈希表中移除元素,而是利用一个常量 TOMBSTONE 来标记这个桶。在该机制下,NoneTOMBSTONE 都代表空桶,都可以放置键值对。但不同的是,线性探测到 TOMBSTONE 时应该继续遍历,因为其之下可能还存在键值对。

然而,懒删除可能会加速哈希表的性能退化。这是因为每次删除操作都会产生一个删除标记,随着 TOMBSTONE 的增加,搜索时间也会增加,因为线性探测可能需要跳过多个 TOMBSTONE 才能找到目标元素。

为此,考虑在线性探测中记录遇到的首个 TOMBSTONE 的索引,并将搜索到的目标元素与该 TOMBSTONE 交换位置。这样做的好处是当每次查询或添加元素时,元素会被移动至距离理想位置(探测起始点)更近的桶,从而优化查询效率。

以下代码实现了一个包含懒删除的开放寻址(线性探测)哈希表。为了更加充分地使用哈希表的空间,我们将哈希表看作一个“环形数组”,当越过数组尾部时,回到头部继续遍历。

[file]{hash_map_open_addressing}-[class]{hash_map_open_addressing}-[func]{}

平方探测

平方探测与线性探测类似,都是开放寻址的常见策略之一。当发生冲突时,平方探测不是简单地跳过一个固定的步数,而是跳过“探测次数的平方”的步数,即 $1, 4, 9, \dots$ 步。

平方探测主要具有以下优势。

  • 平方探测通过跳过探测次数平方的距离,试图缓解线性探测的聚集效应。
  • 平方探测会跳过更大的距离来寻找空位置,有助于数据分布得更加均匀。

然而,平方探测并不是完美的。

  • 仍然存在聚集现象,即某些位置比其他位置更容易被占用。
  • 由于平方的增长,平方探测可能不会探测整个哈希表,这意味着即使哈希表中有空桶,平方探测也可能无法访问到它。

多次哈希

顾名思义,多次哈希方法使用多个哈希函数 $f_1(x)$、$f_2(x)$、$f_3(x)$、$\dots$ 进行探测。

  • 插入元素:若哈希函数 $f_1(x)$ 出现冲突,则尝试 $f_2(x)$ ,以此类推,直到找到空位后插入元素。
  • 查找元素:在相同的哈希函数顺序下进行查找,直到找到目标元素时返回;若遇到空位或已尝试所有哈希函数,说明哈希表中不存在该元素,则返回 None

与线性探测相比,多次哈希方法不易产生聚集,但多个哈希函数会带来额外的计算量。

Tip

请注意,开放寻址(线性探测、平方探测和多次哈希)哈希表都存在“不能直接删除元素”的问题。

编程语言的选择

各种编程语言采取了不同的哈希表实现策略,下面举几个例子。

  • Python 采用开放寻址。字典 dict 使用伪随机数进行探测。
  • Java 采用链式地址。自 JDK 1.8 以来,当 HashMap 内数组长度达到 64 且链表长度达到 8 时,链表会转换为红黑树以提升查找性能。
  • Go 采用链式地址。Go 规定每个桶最多存储 8 个键值对,超出容量则连接一个溢出桶;当溢出桶过多时,会执行一次特殊的等量扩容操作,以确保性能。