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分治搜索策略

我们已经学过,搜索算法分为两大类。

  • 暴力搜索:它通过遍历数据结构实现,时间复杂度为 $O(n)$ 。
  • 自适应搜索:它利用特有的数据组织形式或先验信息,时间复杂度可达到 $O(\log n)$ 甚至 $O(1)$ 。

实际上,时间复杂度为 $O(\log n)$ 的搜索算法通常是基于分治策略实现的,例如二分查找和树。

  • 二分查找的每一步都将问题(在数组中搜索目标元素)分解为一个小问题(在数组的一半中搜索目标元素),这个过程一直持续到数组为空或找到目标元素为止。
  • 树是分治思想的代表,在二叉搜索树、AVL 树、堆等数据结构中,各种操作的时间复杂度皆为 $O(\log n)$ 。

二分查找的分治策略如下所示。

  • 问题可以分解:二分查找递归地将原问题(在数组中进行查找)分解为子问题(在数组的一半中进行查找),这是通过比较中间元素和目标元素来实现的。
  • 子问题是独立的:在二分查找中,每轮只处理一个子问题,它不受其他子问题的影响。
  • 子问题的解无须合并:二分查找旨在查找一个特定元素,因此不需要将子问题的解进行合并。当子问题得到解决时,原问题也会同时得到解决。

分治能够提升搜索效率,本质上是因为暴力搜索每轮只能排除一个选项,而分治搜索每轮可以排除一半选项

基于分治实现二分查找

在之前的章节中,二分查找是基于递推(迭代)实现的。现在我们基于分治(递归)来实现它。

Question

给定一个长度为 $n$ 的有序数组 nums ,其中所有元素都是唯一的,请查找元素 target

从分治角度,我们将搜索区间 $[i, j]$ 对应的子问题记为 $f(i, j)$ 。

以原问题 $f(0, n-1)$ 为起始点,通过以下步骤进行二分查找。

  1. 计算搜索区间 $[i, j]$ 的中点 $m$ ,根据它排除一半搜索区间。
  2. 递归求解规模减小一半的子问题,可能为 $f(i, m-1)$ 或 $f(m+1, j)$ 。
  3. 循环第 1. 步和第 2. 步,直至找到 target 或区间为空时返回。

下图展示了在数组中二分查找元素 $6$ 的分治过程。

二分查找的分治过程

在实现代码中,我们声明一个递归函数 dfs() 来求解问题 $f(i, j)$ :

[file]{binary_search_recur}-[class]{}-[func]{binary_search}