理想气体热学过程的相关计算
★ 1845年焦耳通过(绝热)自由膨胀实验(由\(\delta W=\delta Q=0\)导出\(dU=0\))测得焦耳系数\(\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_U=0\)，从而根据\(U(T,V)\)的偏导关系推出气体的内能只是温度的函数，与体积无关，称为焦耳定律。(P.S.注意这里的气体是一团粒子数固定的气体)然而，1852年通过节流过程的实验发现内能还和体积有关。究其原因，这种与体积相关的内能来源于分子间的作用力，因此作为忽视作用力和分子大小的经典理想气体，其内能的确只是温度的函数。
★ 对于理想气体，立马得到属于理想气体的定体和定压热容定义式，并根据内能只是温度的函数和之前推导的\(C_p\)和\(C_V\)的差值：
\[
C_V=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}=\frac{dU}{dT}\Rightarrow \boxed{dU=C_VdT}\quad C_p=\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{p}=\frac{dH}{dT}\Rightarrow \boxed{dH=C_pdT}
\]
\[
C_p-C_V=\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p} \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}+p\right]=\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}p=\boxed{nR}
\]
上式，再根据\(\gamma=\frac{C_p}{C_V}\)的定义得到(证明题常会使用)：
\[
\boxed{C_V=\frac{nR}{\gamma-1}\quad C_p=\gamma\frac{nR}{\gamma-1}}
\]
此外，可以立马导出对于理想气体任意过程的热容计算式为：
\[
C=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}+\frac{dV}{dT}\left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}+p\right]=C_V+p\frac{dV}{dT}
\]
理想气体方程为\(pV=nRT\),为了与后续多方过程的\(n\)指数进行区分，这里暂时写为\(pV=\nu RT\)
.此外，从方程中的变量可以看出，最简单的三个过程：等压过程、等体过程、等温过程。此外根据热一又可以有绝热过程。事实上，更一般地来说，这些均为多方过程的特殊情况，下面逐个分析。
首先讨论外界对系统做功：
\[
\begin{aligned}
(1)\text{等压过程} \quad& \Delta W = -\int_{V_1}^{V_2}pdV = -p(V_2-V_1)\\
(2)\text{等体过程} \quad& \Delta W = -\int_{V_1}^{V_2}pdV = 0\\
(3)\text{等温过程} \quad&\Delta W = -\int_{V_1}^{V_2}pdV = -\int_{V_1}^{V_2}\frac{\nu RT}{V}dV = \boxed{ \nu RTln(\frac{V_1}{V_2}) = \nu RTln(\frac{p_2}{p_1})} \\
(4)\text{绝热过程} \quad& \Delta W = -\int_{V_1}^{V_2}pdV=?(\text{需要通过热一微分式和理想气体方程导出})
\end{aligned}
\]
下面我们使用上面的结论，利用p-V图进行详细讨论：(Tip：这里要注意区分三类方程：热一微分式、理想气体方程、过程约束方程)
(1)等压过程：根据理想气体方程得到过程约束方程：\(\boxed{p=\mathrm{Const.}}\) 由热一得到：
\[
dU=\delta Q+\delta W\Rightarrow dQ=C_V dT-dW
\]
从而得到：
\[
\Delta U=C_V(T_2-T_1)
\]
\[
\Delta W=-p(V_2-V_1)
\]
\[
\Delta Q=\Delta U-\Delta W=(C_V+\nu R)(T_2-T_1)=C_P(T_2-T_1)=\Delta H
\]
■ 注意，热容都是系统的内禀属性，通常为已知量。此外，这里用等体热容对理想气体内能变化量的代换是最常见的操作，需要习惯和理解。具体原因可以通过范氏气体的\(U(T,V)\)微分式触类旁通：
\[
\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T=T\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V-p=\frac{a\nu^2}{V^2}\Rightarrow dU=C_VdT+\frac{a\nu^2}{V^2}dV
\]
而理想气体\(\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\)求出来为0，因而可以直接代换。
(2)等体过程：根据理想气体方程得到过程约束方程：\(\boxed{V=\mathrm{Const.}}\)由热一得到：
\[
dU=\delta Q+\delta W\Rightarrow dQ=C_V dT
\]
从而得到：
\[
\Delta U=C_V(T_2-T_1)
\]
\[
\Delta W=0
\]
\[
\Delta Q=\Delta U=C_V(T_2-T_1)
\]
(3)等温过程：根据理想气体方程得到过程约束方程：\(\boxed{pV=\mathrm{Const.}}\) 由热一得到：
\[
dU=\delta Q+\delta W\Rightarrow dQ=C_V dT+\frac{\nu RT}{V}dV
\]
从而得到：
\[
\Delta U=0
\]
\[
\Delta W=\nu RTln(\frac{V_1}{V_2})
\]
\[
\Delta Q=-\Delta W=\nu RTln(\frac{V_2}{V_1})
\]
注意内能不变只对理想气体成立，由此也可导出其自由膨胀温度不变
(4)绝热过程：与之前不同，由于过程约束涉及热量\(Q\)，但并不在理想气体方程中，因此需要借助热一来推出微分式，从而得到过程约束方程。
\[
\delta Q=0\Rightarrow dU=\delta W\Rightarrow C_VdT=-\frac{\nu R T}{V}dV
\]
\[
\int\frac{C_V dT}{T}=-\int\frac{\nu RdV}{V}\Rightarrow TV^{\gamma-1}=Const.\quad or\quad\boxed{ pV^\gamma=Const.}
\]
现在可以推导绝热过程外界对系统做功了：
\[
\Delta W=-\int_{V_1}^{V_2}pdV=-\int_{V_1}^{V_2}\frac{Const.}{V^\gamma}dV=Const.\frac{V^{1-\gamma}_2-V^{1-\gamma}_1}{\gamma-1}
\]
\[
=\frac{Const.V^{1-\gamma}_2-Const.V^{1-\gamma}_1}{\gamma-1}=\frac{p_2V_2^\gamma V^{1-\gamma}_2-p_1V_1^\gamma V^{1-\gamma}_1}{\gamma-1}=\frac{p_2V_2-p_1V_1}{\gamma-1}=\frac{\nu R(T_2-T_1)}{\gamma-1}
\]
综上有：
\[
\Delta U=\frac{\nu R(T_2-T_1)}{\gamma-1}=C_V(T_2-T_1)
\]
\[
\Delta W=\frac{p_2V_2-p_1V_1}{\gamma-1}=\frac{\nu R(T_2-T_1)}{\gamma-1}
\]
\[
\Delta Q=0
\]
Tip:求状态参量p,V,T时，常借助物态方程和过程约束，而求W,Q,U则利用热一的微分式积分得到。
以上的热力学过程的约束均可表达为\(\boxed{pV^n=Const.}\),其中\(n=0\)为等压过程、\(n=\infty\)为等体过程、\(n=1\)为等温过程、\(n=\gamma\)为绝热过程。
仅根据此约束方程，易得(计算过程和绝热过程相似，故省略)：
\[
\Delta U=C_V(T_2-T_1)
\]
\[
\Delta W=\frac{p_2V_2-p_1V_1}{n-1}=\frac{\nu R(T_2-T_1)}{n-1}
\]
\[
\Delta Q=\Delta U-\Delta W=\left(C_V-\frac{\nu R}{n-1}\right)(T_2-T_1)
\]
由上式中\(\Delta Q=C_n \Delta T\)得到多方过程的热容：
\[
\boxed{C_n=C_V-\frac{\nu R}{n-1}=\frac{n-\gamma}{n-1}C_V}
\]
当然也不用这么麻烦，上式也可从热一和多方过程约束方程直接推得。
★ 最后来研究一下p-V图的关系：想象这样一个过程，方程\(pV^n=Const.\)中的n从0开始增长到无穷大，即从等压过程逐渐变为等温过程，再到绝热过程，最后成为等体过程。曲线由水平逐渐变陡峭。下图展示了，常见的四种过程。
