朗道连续相变理论（求临界指数）

★ 为了研究二级相变理论，朗道将自由能在临界点附近进行展开，并应用自由能极小的条件求出序参量的解，进而计算出各个临界指数。

所谓序参量，即选定了一个物理量描述系统相变的对称性变化，且在对称性高的无序相为0，对称性低的有序相不为0.序参量的选择不是一件容易的事情，需要丰富的经验和物理直觉。

在临界点具有奇异性的物理量，用临界指数来描述。通常的形式如下：

\[ A\backsim B^{\pm\alpha} \]

其中A为具有奇异性的物理量，B为序参量或温度等，\(\alpha\)即临界指数。

★ 下面利用朗道理论对均匀系铁磁相变进行分析(非均匀系需要用到泛函)。通常选择磁化强度M为序参量，则将自由能展开为：

\[ F(T,M)=\sum_{n=0}^\infty a_n(T)M^n\approx a_0(T)+a_2(T)M^2+a_4(T)M^4 \]

上式利用了\(F(T,M)=F(T,-M)\)并忽略\(M^4\)以上的小量。现在考虑在某一\(T\)下，\(M\)的取值。利用自由能判据得到：

\[ \left(\frac{\partial F}{\partial M}\right)_T=0\qquad\left(\frac{\partial^2 F}{\partial M^2}\right)_T>0\Rightarrow M=0,\pm \sqrt{-\frac{a_2(T)}{2a_4(T)}} \]

如果假设\(a_2(T)=a_{20}(T-T_c),a_4=Const.\)根据稳定平衡条件，得到当\(T>T_c\)时\(M=0\);当\(T<T_c\)时\(M=\pm \sqrt{\frac{a_{20}(T_c-T)}{2a_4}}\).从而根据定义得到：

\[ M\backsim (T_c-T)^\beta\quad(T\rightarrow T_c^{-},H=0)\quad\Rightarrow\quad \beta=\frac{1}{2} \]

利用同样的方法，也可求出其他临界指数\(\delta,\gamma,\alpha\)

★ 是不是感觉朗道理论主要靠“调参”来和实验符合？的确，笔者也这么认为。通过调整\(a_n(T)\)的正负以及自由能展开的阶数，亦可以得到一级和三临界点相变的临界指数。并且，由于其没有考虑涨落等因素，本质上作为一种平均场理论，必定使得某些时候与实验相差过大(利用金兹堡判据可以大致判断适用性)。然而，朗道所提出的序参量的概念，却推动了超导、超流相变、相场法计算等等的发展。