热辐射、磁介质的热学性质

★ 对于热辐射而言，通常利用黑体模型进行讨论，即空窖模型。利用热二不难证明，空窖的内能密度\(u=\frac{U}{V}\)仅是温度T的函数，不随空窖的其他性质发生变化。从而得到\(U(T,V)=u(T)V\).

根据电动力学中电磁波压强p与能量密度u之间的关系——简单来说，这源于光子的能量动量关系\(\varepsilon=pc\)以及三维空间的测度，在统计物理中可由压强的微观表达式得到，这里先接受即可：

\[ p=\frac{1}{3}u \]

上式也是光子气体的“物态方程”。再利用内能对体积的依赖关系得到：

\[ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T=T\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V-p\Rightarrow \boxed{u(T)=aT^4}\Rightarrow U=aT^4V \]

不难看出压强和温度并不独立：\(p=\frac{1}{3}aT^4\),这也是热辐射的独特之处。

对于体系的熵也不难求得：

\[ dS=\frac{1}{T}(dU+pdV)=d(\frac{4}{3}aT^3V)\Rightarrow S=\frac{4}{3}aT^3V \]

上式考虑到\(V=0\)时\(S=0\)，故无积分常数。

有了内能和熵的表达式，不难得到：

\[ H=\frac{4}{3}aT^4V\qquad F=-\frac{1}{3}aT^4V\qquad G=0 \]

其中\(G=0\)体现了系统粒子数不守恒的特性，下一章将通过变分说明这一点。对于绝热过程，只需令\(S=Const.\)即可得到绝热方程。

类比分子动理论中的气体碰壁数\(\Gamma\)，热辐射系统也可引入辐射通量密度J，表示单位时间单位面积通过的辐射能量。类比严格气体碰壁数\(\Gamma=\frac{1}{4}n\bar{v}\),辐射通量密度\(J=\frac{1}{4}cu\),证明如下：

\[ JdA=\frac{cudA}{4\pi}\int \cos(\theta)d\Omega=\frac{cudA}{4\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin(\theta)\cos(\theta)d\theta\int_{0}^{2\pi}d\varphi =\frac{1}{4}cudA \]

上式可以这样理解：辐射由某一点发出，呈球面向外辐射，其中\(\varphi \)为源点到辐射点连线的旋转轴的转角，故取值到\(2\pi\)。因为沿某一方向辐射的贡献为半个球面，从而\(\theta\)取值到\(\frac{\pi}{2}\).由此得到Stefan-Boltzmann定律:

\[ J=\frac{1}{4}caT^4=\sigma T^4 \]

利用上式可以通过测量辐射通量密度，得到物体的表面温度。

★ 对于磁介质的磁化绝热过程，由之前导出的非体积功，不难得到：

\[ dU=TdS+Vd(\frac{\mu_0 H^2}{2})+\mu_0 VHdM\approx TdS+\mu_0 Hdm \]

上式忽略了真空中的磁场强度变化和体积变化，仅考虑磁化强度的变化。且\(m=MV\)为总磁矩。类比之前的热力学基本方程，相当于:

\[ p\rightarrow -\mu_0H\quad V\rightarrow m \]

由此不难得到\(dG=-SdT-m\mu_0dH\)和麦氏关系\(\left(\frac{\partial S}{\partial H}\right)_T=\mu_0\left(\frac{\partial m}{\partial T}\right)_H\).

类比之前定容热容的定义，这里可以定义定磁场热容。从而再利用上述麦氏关系将我们要研究的温度随磁场变化的绝热过程，表达为：

\[ C_H=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_H\Rightarrow \boxed{ \left(\frac{\partial T}{\partial H}\right)_S}=-\left(\frac{\partial T}{\partial S}\right)_H\left(\frac{\partial S}{\partial H}\right)_T=\boxed{-\frac{T}{C_H}\mu_0\left(\frac{\partial m}{\partial T}\right)_H} \]

再代入居里定律\(m=\frac{CV}{T}H(C>0)\)，得到：

\[ \boxed{\left(\frac{\partial T}{\partial H}\right)_S=\mu_0\frac{CVH}{TC_H}} \]

通常上式为非负的，从而可以利用绝热去磁化制冷。注意，这里的结论来自于居里定律，当磁场过强会产生其他效应。

★ 现在我们尝试考虑磁介质体积的变化，内能和吉布斯函数的微分式为：

\[ dU=TdS+\mu_0 Hdm-pdV\Rightarrow dG=-SdT-\mu_0mdH+Vdp \]

从而得到麦氏关系：

\[ \left(\frac{\partial V}{\partial H}\right)_{p,T}=-\mu_0\left(\frac{\partial m}{\partial p}\right)_{H,T} \]

上式左右联系了磁致伸缩效应和压磁效应，