Bose-Einstein凝聚

★ 在讨论BEC之前，先来研究一下玻色气体粒子数的性质：

\[ N=\frac{V}{\lambda_{T}^3}Li_{3/2}(z)>0,\qquad z=e^{\mu/kT} \]

对理想玻色气体，基态能量取为0时需有\(\mu\leqslant0\)，因此\(0<z\leqslant1\)。这不是单纯由\(N>0\)推出的，而是由玻色分布分母\(e^{\beta(\varepsilon-\mu)}-1\)必须为正推出的。

此外，在此区间范围内\(Li_{3/2}(z)\)是单调递增的，故在\(z=0\)时取得最小值\(Li_{3/2}(0)=0\);在\(z=1\)时取得最大值\(Li_{3/2}(1)=\zeta(\frac{3}{2})\approx2.612\).

现在考虑当总粒子数\(N\)固定，温度下降的情况。根据\(\frac{1}{\lambda_T^3}\sim T^{\frac{3}{2}}\)的关系,\(Li_{3/2}(z)\)必然要上升，才能保持激发态容纳足够多的粒子。然而\(Li_{3/2}(z)\)的取值上限为\(\zeta(\frac{3}{2})\),从而当温度下降到足够低的\(T_c\)时，激发态可容纳的粒子数达到上限，剩余粒子只能进入基态。

\[ N=\frac{V}{\lambda_{T_c}^3}Li_{3/2}(1)=\frac{V}{h^3}(2\pi m kT_c)^{3/2}Li_{3/2}(1)\quad\Rightarrow\quad n\lambda_{T}^3>\zeta(\frac{3}{2})\approx2.612 \]

上式即为这种临界状态所满足的等式；当\(n\lambda_T^3>\zeta(\frac{3}{2})\)时，仅靠激发态已经无法容纳全部粒子。事实上，上一节推导玻色气体的巨配分函数时，其中\(D(\varepsilon)\sim\varepsilon^{\frac{1}{2}}\),使得处于基态\(\varepsilon=0\)的量子态对连续态密度没有贡献。低于\(T_c\)时，基态粒子数开始宏观增大，这正是BEC的体现；由于这里涉及\(z=e^{-\alpha}\rightarrow1\),故属于强简并的情况。 *

★ 下面将基态粒子数对巨配分函数的贡献单独作为一项，\(ln\Xi\)修正为:

\[ ln\Xi=-\sum_l\omega_lln(1-e^{-\alpha-\beta\varepsilon_l})=-\omega_1ln(1-e^{-\alpha})+\frac{V}{\lambda_T^3}Li_{5/2}(z) \]

为了方便，取基态简并度为1，即\(\omega_1=1\),从而得到修正的粒子数为：

\[ \boxed{N=\frac{z}{1-z}+\frac{V}{\lambda_{T}^3}Li_{3/2}(z)} \]

对于内能和物态方程，由于\(ln\Xi\)的基态修正项中不含\(\beta\)和外参量\(V\),故仍为原来的表达式。然而，有时为了研究\(T<T_c\)条件下，各个热力学量与\(\frac{T}{T_c}\)的关系，默认\(z\approx1\);且\(T=T_c\)时，基态粒子数可以忽略不计，那么有：

\[ N\approx\frac{V}{\lambda_{T_c}^3}Li_{3/2}(1)\quad\Rightarrow\quad N_{exc}=N\left(\frac{T}{T_c}\right)^{3/2}\quad N_0=N\left[1-\left(\frac{T}{T_c}\right)^{3/2}\right] \]

注意粒子数\(N\)的表达式中温度恒为\(T_c\),而其他热力学量中的\(T\)为变量。故：

\[ \frac{pV}{NkT}=\frac{U}{\frac{3}{2}NkT}=\frac{Li_{5/2}(z)}{Li_{3/2}(z)}\left(\frac{T}{T_c}\right)^{3/2}\quad\Rightarrow\quad C_V=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V=\frac{15Li_{5/2}(z)}{4Li_{3/2}(z)}Nk\left(\frac{T}{T_c}\right)^{3/2} \]

即当\(T\rightarrow0\)时，\(U,p\)和\(C_V\)分别以\(T^{5/2}\)和\(T^{3/2}\)的幂次趋向于0.这体现出玻色气体的特点，但在强简并的费米气体中，由于泡利不相容原理，能量、压强等不会随温度趋向于0.

值得注意，严格来说\(z(T)\)需要根据粒子数方程\(N=N(T,z)\)来确定。在热力学极限下，\(T<T_c\)时通常取\(z\rightarrow1\)，而不是把\(z\)看成趋于0。

★ 本节从巨配分函数导出的粒子数出发，发现在低于\(T_c\)的温度下，粒子数会减少，从而判断BEC的存在。然而，分析新的体系这样的过程也许过于繁杂，我们可以从化学势\(\mu\)入手，分析临界状态，从而判断\(T_c\)是否存在。例如分析二维玻色气体不会发生BEC,但处在磁光陷阱中的二维原子却可以。